공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 포물선 교점

문제

그림과 같이 유리수 a,ba , b에 대하여 두 이차함수 y=x2−3x+1y = x ^{2} - 3 x + 1 과 y=−x2+ax+by = - x ^{2} + ax + b의 그래프가 만나는 두 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하자. 점 P\mathrm{P}의 xx좌표가 1−2\displaystyle 1 - \sqrt{2}일 때, a+3ba + 3 b의 값은? [4점]

①66②77③88④99⑤1010

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해설

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 이차방정식 문제 해결하기

이차함수 y=−x2+ax+by = - x ^{2} + ax + b의 그래프와 이차함수 y=x2−3x+1y = x ^{2} - 3 x + 1의 그래프의 교점의 xx좌표는 이차방정식 −x2+ax+b=x2−3x+1- x ^{2} + ax + b = x ^{2} - 3 x + 1 2x2−(3+a)x+1−b=02 x ^{2} - ( 3 + a ) x + 1 - b = 0 의 두 실근이다. a,ba , b는 유리수이므로 한 근이 1−2\displaystyle 1 - \sqrt{2}이면 나머지 한 근은 1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}이다. 따라서 2x2−(3+a)x+1−b=02 x ^{2} - ( 3 + a ) x + 1 - b = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하면 근과 계수의 관계에 의해 α+β=3+a2=2\displaystyle \alpha + \beta = \frac{3 + a}{2} = 2, αβ=1−b2=−1\displaystyle \alpha \beta = \frac{1 - b}{2} = - 1 이다. a=1,b=3a = 1 , b = 3이므로 a+3b=10a + 3 b = 10이다.

태그

#근과 계수의 관계#이차함수

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