두 포물선 구간함수

$q \geq 0$이면 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$, $g \left( x \right) \leq 0$이 되어 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$는 서로 다른 두 실근을 갖지 않으므로 $q < 0$ 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$가 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$를 가지므로 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프는 서로 다른 두 점 ${\mathrm{P}} \left( \alpha , f \left( \alpha \right) \right)$, ${\mathrm{Q}} \left( \beta , f \left( \beta \right) \right)$에서 만난다. (ⅰ) $\alpha \geq p$일 때

$t > q$인 모든 실수 $t$에 대하여 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다. $t > q$인 실수 $t$에 대하여 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $x _{1}$, $x _{2}$, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $x _{3}$, $x _{4}$라 하자. 이때 $t > q$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 두 교점의 $x$좌표의 합은 $2 p$이므로 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 두 실근의 합 $x _{1} + x _{2}$는 $x _{1} + x _{2} \leq x _{3} + x _{4} = 2 p$ $p > 0$, $m > 0$이므로 $x _{1} + x _{2} < 4 p + 2 m$이 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\alpha < p$일 때

$h \left( \alpha \right) < t < h \left( \beta \right)$ 또는 $t > - q$인 모든 실수 $t$에 대하여 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, $t = h \left( \beta \right)$ 또는 $t = - q$인 실수 $t$에 대하여 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이고, $h \left( \beta \right) < t < - q$인 모든 실수 $t$에 대하여 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다. (a) $h \left( \alpha \right) < t < h \left( \beta \right)$ 또는 $t > - q$일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 두 실근의 합은 $2 p$보다 작거나 같으므로 조건을 만족시키지 않는다. (b) $t = h \left( \beta \right)$ 또는 $t = - q$일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 세 실근의 합은 $3 p + m$보다 작거나 같으므로 조건을 만족시키지 않는다. (c) $h \left( \beta \right) < t < - q$일 때 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 네 교점의 $x$좌표를 작은 수부터 차례로 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$이라 하면 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 두 교점의 $x$좌표는 $x _{5}$, $x _{8}$이고 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 두 교점의 $x$좌표는 $x _{6}$, $x _{7}$이다. 이때 $x _{5} + x _{8} = 2 p$, $x _{6} + x _{7} = 2 p + 2 m$이므로 방정식 $h \left( x \right) = t$의 서로 다른 네 실근의 합 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8}$은 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 4 p + 2 m$ 그러므로 조건을 만족시키는 모든 실수 $t$의 값의 범위는 $h \left( \beta \right) < t < - q$ 조건에 의하여 $h \left( \beta \right) = g \left( p \right)$이고 $- q = 5$, $q = - 5$

이때 $h \left( \beta \right) = f \left( \beta \right) = g \left( \beta \right)$이므로 $g \left( p \right) = f \left( \beta \right)$ 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = p + m$에 대하여 대칭이므로 $p + \beta = 2 \left( p + m \right)$, $\beta = p + 2 m$ $f \left( \beta \right)$$= f \left( p + 2 m \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 2 m \right) ^{2} - 5 = 2 m ^{2} - 5$ 이고 $\displaystyle g \left( p \right) = - \frac{1}{2} \left( - m \right) ^{2} + 5 = - \frac{1}{2} m ^{2} + 5$ 이므로 $\displaystyle 2 m ^{2} - 5 = - \frac{1}{2} m ^{2} + 5$에서 $m ^{2} = 4$, $m = 2$ 그러므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - p \right) ^{2} - 5$, $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{1}{2} \left( x - 2 - p \right) ^{2} + 5$ $f \left( m \right) + g \left( m \right)$$= f \left( 2 \right) + g \left( 2 \right)$ $\displaystyle = \left\{ \frac{1}{2} \left( 2 - p \right) ^{2} - 5 \right\} + \left( - \frac{1}{2} p ^{2} + 5 \right)$ $= - 2 p + 2$ $- 2 p + 2 = - 4$이므로 $p = 3$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $m \times \left( p - q \right) = 2 \times \left\{ 3 - \left( - 5 \right) \right\} = 16$