두 포물선 공통접선 개수

이차곡선 $\displaystyle \left( y + \frac{1}{2} \right) ^{2} = 4 px$이 위 그림에서 ① 의 경우 공통접선이 3개, ② 의 경우 공통접선이 2개 ③ 의 경우 공통접선이 1개 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{p\rightarrow k+} {f ( p ) > f ( k )}$를 만족하는 경우는 $p$의 크기가 증가하며 ① → ② 임을 알 수 있다. 따라서 $p$는 음수이고 극한값 $k$는 두 이차곡선이 접할 때 $p$의 값이 된다. 두 곡선의 접점을 $( x _{1} , y _{1} )$이라고 하면 $x ^{2} = 2 y$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = x _{1}$이고, $\displaystyle \left( y + \frac{1}{2} \right) ^{2} = 4 px$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2 p}{y _{1} + \frac{1}{2}}$이므로 두 식을 연립하면 $\displaystyle 2 p = x _{1} \left( y _{1} + \frac{1}{2} \right)$이고 이 식을 $\displaystyle \left( y _{1} + \frac{1}{2} \right) ^{2} = 4 px _{1}$에 대입하면 $\displaystyle y _{1} = \frac{1}{6} , x _{1} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ 가 된다. $p$가 음수이므로 $\displaystyle \therefore p = - \frac{\sqrt{3}}{9}$