기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 포물선 초점 거리

문제

실수 p(p≥1)p ( p \geq 1 )과 함수 f(x)=(x+a)2f ( x ) = ( x + a ) ^{2}에 대하여 두 포물선 C1:y2=4xC _{1} : y ^{2} = 4 x, C2:(y−3)2=4p{x−f(p)}C _{2} : ( y - 3 ) ^{2} = 4 p \left\{ x - f ( p ) \right\} 가 제1\mathrm{1}사분면에서 만나는 점을 A{\mathrm{A}}라 하자. 두 포물선 C1C _{1}, C2C _{2}의 초점을 각각 F1{\mathrm{F}} \mathit{_{1}}, F2{\mathrm{F}} \mathit{_{2}}라 할 때, AF1‾=AF2‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AF}} \mathit{_{1}}} = \overline{{\mathrm{AF}} \mathit{_{2}}}를 만족시키는 pp가 오직 하나가 되도록 하는 상수 aa의 값은? [4점] ①−34\displaystyle - \frac{3}{4}②−58\displaystyle - \frac{5}{8}③−12\displaystyle - \frac{1}{2}④−38\displaystyle - \frac{3}{8}⑤−14\displaystyle - \frac{1}{4}

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①

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해설

두 포물선 C1C _{1}, C2C _{2}의 교점 AA의 xx좌표를 x1x _{1}이라 하자. 두 포물선의 준선은 각각 x=−1x = - 1, x=−p+f(p)x = - p + f ( p )이므로 AF1‾=x1+1\displaystyle {\mathrm{\overline{AF _{1}}}} = \mathit{x} _{1} + 1, AF2‾=x1+p−f(p)\displaystyle \mathrm{\overline{AF _{2}}} = \mathit{x} _{1} + p - f ( p ) AF1‾=AF2‾\displaystyle \mathrm{\overline{AF _{1}}} = {\overline{AF _{2}}}에서 p2+(2a−1)p+a2+1=0p ^{2} + ( 2 a - 1 ) p + a ^{2} + 1 = 0이고, 이 식을 만족시키는 pp가 오직 하나이기 위해서는 판별식이 00이어야 하므로 D=(2a−1)2−4(a2+1)=0D = ( 2 a - 1 ) ^{2} - 4 ( a ^{2} + 1 ) = 0 ∴a=−34\displaystyle \therefore a = - \frac{3}{4}

태그

#포물선#판별식

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