대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 지수함수 사이 거리

문제

두 함수 y=2xy = 2 ^{x}, y=−(12)x\displaystyle y = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}의 그래프와 직선 x=kx = k 의 교점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 할 때, PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}의 최소값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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④

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해설

P(k,2k)\mathrm{P} \mathit{\left( k , 2 ^{k} \right)}, Q(k,−(12)k)\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( k , - \left( \frac{1}{2} \right) ^{k} \right)} PQ‾=2k+(12)k≥22k⋅(12)k=2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2 ^{k} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{k} \geq 2 \sqrt{2 ^{k} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}} = 2 (등호는 2k=(12)k\displaystyle 2 ^{k} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}일 때 성립) ∴ 최소값은 22

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#지수함수#산술기하평균

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