대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 지수함수 교점 중점

문제

두 함수 y=2xy = 2 ^{x}, y=−(12)x+k\displaystyle y = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} + k의 그래프가 서로 다른 두 점A,B\mathrm{A} , B에서 만난다. 선분 AB\mathrm{A} B의 중점의 좌표가 (0,54)\displaystyle \left( 0 , \frac{5}{4} \right)일 때, 상수 kk의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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⑤

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해설

yy 2x=−(12)x+k\displaystyle 2 ^{x} = - {\left( \frac{1}{2} \right)} ^{x} + k의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하면 α+β2=0\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = 0에서 β=−α\beta = - \alpha 선분 AB\mathrm{A} B의 중점의 yy 좌표가 54\displaystyle \frac{5}{4}이므로 2α−(12)β+k2=54\displaystyle \frac{2 ^{\alpha} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{\beta} + k}{2} = \frac{5}{4} k2=54(∵β=−α)\displaystyle \frac{k}{2} = \frac{5}{4} ( \because \beta = - \alpha ) ∴k=52\displaystyle \therefore k = \frac{5}{2}

태그

#지수함수#대칭

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