두 지수곡선 사각형 넓이

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제 해결하기 색칠된 도형의 넓이 $S$는 두 삼각형 $\mathrm{ACB}$, $\mathrm{ADB}$의 넓이의 차와 같으므로 $\displaystyle \begin{aligned} S & = ( \triangle \mathrm{ACB} \text{의} \text{넓이} ) - ( \triangle ADB \text{의} \text{넓이} ) \\ & = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{AB}} \times ( \text{두} \text{삼각형의} \text{높이} \text{차} ) \\ & = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{CD}} = \frac{1}{2} ( \mathit{b} - a ) \times {\overline{\mathrm{CD}}} \end{aligned}$ 이다.

$\displaystyle y = \frac{2 ^{x} + 2 ^{- x}}{2}$ $y = 2 - 2 ^{x - 1}$

$\displaystyle S = \frac{1}{2} ( b - a ) \times \mathrm{\overline{CD}}$ 에서 $S$가 최댓값을 갖는 것은 선분 $\mathrm{CD}$의 값이 최대가 될 때이다. 선분 $\mathrm{CD}$의 길이는 $x = c$에서 점 $\mathrm{C} , D$의 $y$좌표의 차이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{\overline{CD}} & = \mathit{2} - 2 ^{t - 1} - \frac{2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2} = 2 - \frac{2 \cdot 2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2} \end{aligned}$ 이다. 여기서 $2 \cdot 2 ^{t}$, $2 ^{- t}$는 모두 양수이므로 산술평균과 기하평균의 부등식에 의해 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{2 \cdot 2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2} & \geq \sqrt{2 \cdot 2 ^{t} \times 2 ^{- t}} = \sqrt{2} \end{aligned}$ (단, 등호는 $2 \cdot 2 ^{t} = 2 ^{- t}$일 때 성립한다.) 이므로 $\displaystyle \frac{2 \cdot 2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2}$은 최솟값 $\displaystyle \sqrt{2}$를 갖는다. $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{\overline{CD}} & = 2 - \frac{2 \cdot 2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2} \end{aligned}$에서 $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{\overline{CD}} & = 2 - \frac{2 \cdot 2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2} \leq 2 - \sqrt{2} \end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$는 최댓값 $\displaystyle 2 - \sqrt{2}$을 갖는다. 따라서 $S$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} ( b - a ) \times \mathrm{\overline{CD}} \frac{= \mathit{1}}{2} ( b - a ) ( 2 - \sqrt{2} )$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$이다. 따라서 $70 ( k - 1 ) ^{2} = 35$이다.