대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 직선에 접하는 원의 넓이

문제

그림과 같이 두 직선 $l$ , $m$ 에 동시에 접하는 원 $\mathrm{C} _{1}$ 이 있다. 원 $\mathrm{C} _{1}$ 의 중심을 지나고 직선 $l$ , $m$ 에 동시에 접하면서 $\mathrm{C} _{1}$ 보다 큰 원을 $\mathrm{C} _{2}$ 라 하자. 원 $\mathrm{C} _{2}$ 의 중심을 지나고 직선 $l$ , $m$ 에 동시에 접하면서 $\mathrm{C} _{2}$ 보다 큰 원을 $\mathrm{C} _{3}$ 라 하자. 이와 같은 방법으로 원 ${\mathrm{C}} _{k}$ 의 중심을 지나고 직선 $l$ , $m$ 에 동시에 접하면서 ${\mathrm{C}} _{k}$ 보다 큰 원을 $\mathrm{C} _{\mathit{k} + 1}$ 이라 하자.( $k = 1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ ) 원 $\mathrm{C} _{1}$ 의 넓이가 $1$ , 원 $\mathrm{C} _{5}$ 의 넓이가 $4$ 일 때, 원 $\mathrm{C} _{19}$ 의 넓이를 구하시오. [4점]

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512

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해설

원 $\mathrm{C} _{\mathit{k}}$ 의 반지름을 $r _{k}$ , 넓이를 $S _{k}$ , 원 $\mathrm{C} _{\mathit{k} + 1}$ 의 반지름을 $r _{k + 1}$ , 넓이를 $S _{k + 1}$ 이라 하면,

$\displaystyle \frac{r _{k + 1} - r _{k}}{r _{k + 1}} = p$ (상수), $\displaystyle r _{k + 1} = \frac{1}{1 - p} r _{k}$ 수열 $\left\{ r _{k} \right\}$ 가 등비수열이므로 수열 $\left\{ S _{k} \right\}$ 도 등비수열이고, $\left\{ S _{k} \right\}$ 의 공비를 $a$ 라 하면 $S _{1} = 1$ , $S _{5} = a ^{4} = 4$ 이므로 $a ^{2} = 2$ $\therefore S _{19} = a ^{18} = 2 ^{9} = 512$

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