두 직선에 접하는 원

원의 중심을 ${\mathrm{A}} \mathit{(} a , b )$라 하면 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 $l _{1} : m x - y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| ma - b \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 $l _{2} : x - m y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| a - mb \right|}{\sqrt{1 + m ^{2}}}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| ma - b \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = \frac{\left| a - mb \right|}{\sqrt{1 + m ^{2}}}$, $\left| ma - b \right| = \left| a - mb \right|$ 즉, $ma - b = \pm \left( a - mb \right)$이므로 $a = b$ 또는 $a = - b$ 원의 중심이 제$\mathrm{1}$사분면에 있으므로 $a = b$ 그러므로 직선 ${\mathrm{OA}}$의 방정식은 $y = x$이다. 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$가 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OP}}} = \overline{{\mathrm{OQ}}}$인 이등변삼각형이므로 선분 ${\mathrm{PQ}}$의 수직이등분선은 점 ${\mathrm{O}}$를 지나고, 현의 성질에 의해 선분 ${\mathrm{PQ}}$의 수직이등분선은 원의 중심 ${\mathrm{A}}$를 지난다. 즉, 직선 $y = x$는 선분 ${\mathrm{PQ}}$의 수직이등분선이다. 직선 ${\mathrm{PQ}}$의 기울기는 $\mathrm{-} 1$이므로 직선 ${\mathrm{PQ}}$가 $y$축과 만나는 점을 ${\mathrm{R}} \mathit{'}$이라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OR}}} = \overline{{\mathrm{OR}} \mathit{'}}$이고 $\angle {\mathrm{OR}} \mathit{'} {\mathrm{P}} \mathit{=} \angle {\mathrm{ORQ}} \mathit{=} 45 ^\circ$이다.

삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$가 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{OPQ}} \mathit{=} \angle {\mathrm{OQP}}$에서 $\angle {\mathrm{OPR}} \mathit{'} = \angle {\mathrm{OQR}}$이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{OR}} \mathit{'}} = \overline{{\mathrm{OR}}}$, $\angle {\mathrm{PR}} \mathit{'} {\mathrm{O}} \mathit{=} \angle {\mathrm{QRO}}$, $\angle {\mathrm{OPR}} \mathit{'} = \angle {\mathrm{OQR}}$에서 삼각형 ${\mathrm{OPR}} \mathit{'}$과 삼각형 ${\mathrm{OQR}}$은 서로 합동이다. 따라서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{R}} \mathit{'} {\mathrm{P}}} = \overline{{\mathrm{PQ}}} = \overline{{\mathrm{QR}}}$이므로 세 삼각형 ${\mathrm{OR}} \mathit{'} {\mathrm{P}}$, ${\mathrm{OPQ}}$, ${\mathrm{OQR}}$의 넓이는 모두 $\mathrm{24}$로 같다. 그러므로 삼각형 ${\mathrm{ORR}} \mathit{'}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OR}}} \times {\overline{\mathrm{OR} \mathit{'}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OR}}} ^{2} = 3 \times 24 = 72$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{OR}}} = 12$ 따라서 ${\mathrm{R}} \mathit{(} 12 , 0 )$, ${\mathrm{R}} \mathit{'} ( 0 , 12 )$이다. 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{RR}} \mathit{'}$의 삼등분점이고 선분 ${\mathrm{RR}} \mathit{'}$을 $2 : 1$로 내분하는 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 \times 0 + 1 \times 12}{2 + 1} , \frac{2 \times 12 + 1 \times 0}{2 + 1} \right)$, 선분 $\mathrm{RR} \mathit{'}$을 $1 : 2$로 내분하는 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times 12}{1 + 2} , \frac{1 \times 12 + 2 \times 0}{1 + 2} \right)$ 이므로 ${\mathrm{P}} \mathit{(} 4 , 8 )$, ${\mathrm{Q}} \mathit{(} 8 , 4 )$이다. 직선 $l _{1}$의 기울기 $m$은 $\displaystyle m = \frac{8 - 0}{4 - 0} = 2$이다. 따라서 직선 $l _{1}$의 방정식은 $y = 2 x$, 직선 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$이다. 직선 ${\mathrm{BQ}}$는 직선 $l _{2}$와 수직이므로 기울기가 $\mathrm{-} 2$이고 점 ${\mathrm{Q}} \mathit{(} 8 , 4 )$를 지난다. 따라서 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 방정식은 $y = - 2 x + 20$이다. 직선 $l _{1}$과 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 교점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $2 x = - 2 x + 20$에서 $4 x = 20$, $x = 5$ 이므로 ${\mathrm{B}} \mathit{(} 5 , 10 )$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BQ}}}$$\displaystyle = \sqrt{( 8 - 5 ) ^{2} + ( 4 - 10 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{45}$ $\displaystyle = 3 \sqrt{5}$ [다른 풀이] 선분 ${\mathrm{PQ}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} = {\overline{\mathrm{MQ}}} = k \left( k > 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{QR}}} = 2 k$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}} = {\overline{\mathrm{MR}}} = 3 k$ 조건 (나)로부터 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 k \times 3 k = 3 k ^{2} = 24$이므로 $\displaystyle k = 2 \sqrt{2}$ 두 점 ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{Q}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{M}} \mathit{'}$, $Q'$이라 하자.

$\displaystyle \overline{{\mathrm{OQ}} \mathit{'}}$$\displaystyle = \overline{{\mathrm{OM}} \mathit{'}} + \overline{{\mathrm{M}} \mathit{'} {\mathrm{Q}} \mathit{'}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{{\mathrm{OM}}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{{\mathrm{MQ}}}$ $\displaystyle = \frac{3}{\sqrt{2}} k + \frac{1}{\sqrt{2}} k$$\displaystyle = \frac{4}{\sqrt{2}} k = 8$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{QQ}} \mathit{'}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{{\mathrm{QR}}}$$\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{2}} k = 4$ 이므로 ${\mathrm{Q}} \mathit{(} 8 , 4 )$이고 직선 ${\mathrm{OQ}}$의 기울기 $\displaystyle \frac{1}{m}$은 $\displaystyle \frac{1}{m} = \frac{4 - 0}{8 - 0} = \frac{1}{2}$이므로 $m = 2$ 따라서 직선 $l _{1}$의 방정식은 $y = 2 x$, 직선 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$이다. 직선 ${\mathrm{BQ}}$는 직선 $l _{2}$와 수직이므로 기울기가 $\mathrm{-} 2$이고 점 ${\mathrm{Q}} \mathit{(} 8 , 4 )$를 지난다. 따라서 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 방정식은 $y = - 2 x + 20$이다. 직선 $l _{1}$과 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 교점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $2 x = - 2 x + 20$에서 $4 x = 20$ $x = 5$ 이므로 $\mathrm{B} \mathit{\left( 5 , 10 \right)}$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = \sqrt{\left( 8 - 5 \right) ^{2} + \left( 4 - 10 \right) ^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$