두 직사각형 넓이 최소

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $( a , 2 ^{a} )$라고 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} =$$2 ^{a}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BC} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$= 2 ^{a - 1}$ 따라서 $\mathrm{\square} ABCD$의 넓이는 $2 ^{2 a - 1}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\left( a , 2 ^{4 - a} \right)$이므로 점 $\mathrm{E}$의 $y$좌표는 $2 ^{4 - a}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} =$$2 ^{4 - a}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} : {\overline{HG}} = 1 : 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HG}} \mathit{=}$$2 ^{5 - a}$ 따라서 $\mathrm{\square} EFGH$의 넓이는 $2 ^{9 - 2 a}$ 두 직사각형의 넓이의 합은 절대부등식의 성질에 의하여 $2 ^{2 a - 1} + 2 ^{9 - 2 a}$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{2 ^{2 a - 1} \cdot 2 ^{9 - 2 a}}$$= 2 ^{5} = 32$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$단, 등호는 $\displaystyle a = \frac{5}{2}$일 때만 성립$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right)$ 그러므로 최솟값은 $32$