두 접선 이루는 각

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 $y' = e ^{x}$이므로 곡선 $y = e ^{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{t} , e ^{t} \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{-} t , e ^{- t} \right)$에서의 접선 $l$, $m$의 기울기는 각각 $e ^{t}$, $e ^{- t}$이다.

두 직선 $l$, $m$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\tan \alpha = e ^{t}$, $\tan \beta = e ^{- t}$ $\displaystyle \tan \frac{\pi}{4}$$= \tan \left( \alpha - \beta \right)$$\displaystyle = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$\displaystyle = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{1 + e ^{t} e ^{- t}} = 1$ $e ^{t} - e ^{- t} = 2$ $\left( e ^{t} \right) ^{2} - 2 e ^{t} - 1 = 0$ $e ^{t} > 0$이므로 $\displaystyle e ^{t} = 1 + \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle t = \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right)$ 따라서 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{t - \left( - t \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{\ln \left( 1 + \sqrt{2} \right)}$