두 정사각형 넓이비

[출제의도] 이차방정식의 근 이해하기 꼭짓점 $\mathrm{E}$에서 변 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{L}$이라 하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{JL}}} = x$$( x > 0 )$라 하자. $\triangle \mathrm{EJI}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EL}}} = x$이고 $\triangle \mathrm{EJI}$의 넓이는 $x ^{2}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AJ}}} = 1 - x$이므로 $\triangle \mathrm{AKJ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$이다. $\triangle \mathrm{AKJ}$의 넓이가 $\triangle \mathrm{EJI}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{3}{2}$배이므로 $\displaystyle \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} = \frac{3}{2} x ^{2}$, $2 x ^{2} + 2 x - 1 = 0$이고, $\displaystyle x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} ( x > 0 )$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OE}}} = \sqrt{2} k$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OE}}} = {\overline{\mathrm{OL}}} + {\overline{\mathrm{EL}}} = 1 + \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{2} k = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$이다. $\displaystyle k = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$이므로 $\displaystyle p = q = \frac{1}{4}$이고 $100 ( p + q ) = 50$이다.