두 정점과 원점이 만드는 삼각형의 넓이

$\left( k + 1 \right) x + \left( k - 2 \right) y - 3 k = 0$을 $k$에 대하여 정리하면 $\left( x + y - 3 \right) k + \left( x - 2 y \right) = 0$ $x + y - 3 = 0$, $x - 2 y = 0$에서 $x = 2$, $y = 1$이므로 $\mathrm{P} \left( 2 , 1 \right)$ $\left( 2 k - 1 \right) x - \left( k + 1 \right) y + 5 k + 2 = 0$을 $k$에 대하여 정리하면 $\left( 2 x - y + 5 \right) k + \left( - x - y + 2 \right) = 0$ $2 x - y + 5 = 0$, $x + y - 2 = 0$에서 $x = - 1$, $y = 3$이므로 $\mathrm{Q} \left( - 1 , 3 \right)$ 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - 1}{- 1 - 2} = - \frac{2}{3}$이므로 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{2}{3} \left( x - 2 \right) + 1$, 즉 $2 x + 3 y - 7 = 0$ 이 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{7}{2} , 0 \right)$ 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{QR}$ 위에 있으므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{OQR}$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{OPR}$의 넓이를 뺀 것과 같다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 3 - \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 1 = \frac{21}{4} - \frac{7}{4} = \frac{7}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{7}{2}$ ③