두 정점과 수직인 두 직선의 교점

두 직선이 각각 항상 지나는 점을 찾고, 두 직선이 $k$의 값에 관계없이 서로 수직임을 본다. $l _{1}$: $k \left( x - 1 \right) - \left( y - 2 \right) = 0$이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( 1 , 2 \right)}$ $l _{2}$: $\left( x - 7 \right) + k \left( y - 2 \right) = 0$이므로 $\mathrm{Q} \mathit{\left( 7 , 2 \right)}$ 두 직선의 $x$, $y$의 계수에서 $k \times 1 + \left( - 1 \right) \times k = 0$이므로 $l _{1}$과 $l _{2}$는 항상 서로 수직이다. 즉 각 $\mathrm{PRQ}$는 직각이므로 점 $\mathrm{R}$는 선분 $\mathrm{PQ}$를 지름으로 하는 원 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{6}$이므로 이 원의 반지름은 $3$이고, 점 $\mathrm{R}$와 직선 $\mathrm{PQ}$ 사이의 거리는 $3$ 이하이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ 검산: 두 식을 연립하면 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표는 $\displaystyle 2 + \frac{6 k}{1 + k ^{2}}$이고 $\displaystyle \left| \frac{6 k}{1 + k ^{2}} \right| \leq 3$이므로 높이의 최댓값은 $3$이다. ($k = 1$일 때 $\mathrm{R} \mathit{\left( 4 , 5 \right)}$)