두 점이 수직이등분선 위에 있게 하는 점 찾기

두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{C}$ 가 모두 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 에서 같은 거리에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$ 의 두 식을 세우고, $\mathrm{B}$ 가 $\mathrm{A}$ 와 다른 점임을 끝에 확인한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} ^{2} = \overline{\mathrm{OB}} ^{2}$ 에서 $1 + 9 = a ^{2} + b ^{2}$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} = 10$ ㉠ $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = \overline{\mathrm{CB}} ^{2}$ 에서 $( 8 - 1 ) ^{2} + ( 4 - 3 ) ^{2} = ( 8 - a ) ^{2} + ( 4 - b ) ^{2}$ $50 = a ^{2} + b ^{2} - 16 a - 8 b + 80$ ㉠을 대입하면 $50 = 10 - 16 a - 8 b + 80$ 에서 $2 a + b = 5$ ㉡ ㉡에서 $b = 5 - 2 a$ 를 ㉠에 대입하면 $a ^{2} + ( 5 - 2 a ) ^{2} = 10$ $5 a ^{2} - 20 a + 15 = 0$, $a ^{2} - 4 a + 3 = 0$ 에서 $a = 1$ 또는 $a = 3$ $a = 1$ 이면 $b = 3$ 이므로 점 $\mathrm{B}$ 가 점 $\mathrm{A}$ 와 일치하여 조건에 맞지 않는다. 따라서 $a = 3$, $b = - 1$, 즉 $\mathrm{B} ( 3 , - 1 )$ 두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{C}$ 가 선분 $\mathrm{AB}$ 의 수직이등분선 위에 있으므로 점 $\mathrm{B}$ 는 직선 $\mathrm{OC}$ 에 대하여 점 $\mathrm{A}$ 와 대칭인 점이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = ( 3 - 1 ) ^{2} + ( - 1 - 3 ) ^{2} = 4 + 16 = 20$