두 절편의 절댓값의 합이 일정한 직선의 개수

실마리: 두 절편의 부호에 따라 경우를 나누고, 각 경우에 나오는 이차방정식의 근이 정해진 범위에 있는지 살핀다. $x$절편을 $a$, $y$절편을 $b$라 하면 ($ab \ne 0$) 직선 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$이 점 $\left( 3 , 1 \right)$을 지나므로 $\displaystyle \frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1$ …… ㉠ 또 $\left| a \right| + \left| b \right| = 8$ …… ㉡ 점 $\left( 3 , 1 \right)$은 제1사분면의 점이므로 $a < 0$, $b < 0$인 경우는 없다. (두 절편이 모두 음수인 직선은 제1사분면을 지나지 않는다.) (ⅰ) $a > 0$, $b > 0$일 때 ㉡에서 $b = 8 - a$ ($0 < a < 8$)이고 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{3}{a} + \frac{1}{8 - a} = 1$ $3 \left( 8 - a \right) + a = a \left( 8 - a \right)$ $a ^{2} - 10 a + 24 = 0$, $\left( a - 4 \right) \left( a - 6 \right) = 0$ $a = 4$ 또는 $a = 6$이고 모두 $0 < a < 8$을 만족하므로 직선은 $2$개 ($x + y = 4$, $\displaystyle \frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1$) (ⅱ) $a > 0$, $b < 0$일 때 ㉡에서 $b = a - 8$ ($0 < a < 8$)이고 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{3}{a} + \frac{1}{a - 8} = 1$ $3 \left( a - 8 \right) + a = a \left( a - 8 \right)$ $a ^{2} - 12 a + 24 = 0$ $f ( a ) = a ^{2} - 12 a + 24$라 하면 $f ( 0 ) = 24 > 0$, $f ( 8 ) = - 8 < 0$이므로 $f ( a ) = 0$은 $0 < a < 8$에서 근을 꼭 하나 갖는다. 직선은 $1$개 (ⅲ) $a < 0$, $b > 0$일 때 ㉡에서 $b = a + 8$ ($- 8 < a < 0$)이고 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{3}{a} + \frac{1}{a + 8} = 1$ $3 \left( a + 8 \right) + a = a \left( a + 8 \right)$ $a ^{2} + 4 a - 24 = 0$ $g ( a ) = a ^{2} + 4 a - 24$라 하면 $g ( - 8 ) = 8 > 0$, $g ( 0 ) = - 24 < 0$이므로 $g ( a ) = 0$은 $- 8 < a < 0$에서 근을 꼭 하나 갖는다. 직선은 $1$개 (검산: (ⅱ)의 근은 $\displaystyle a = 6 \pm 2 \sqrt{3}$ 중 $\displaystyle 6 - 2 \sqrt{3}$만, (ⅲ)의 근은 $\displaystyle a = - 2 \pm 2 \sqrt{7}$ 중 $\displaystyle - 2 - 2 \sqrt{7}$만 범위에 있다.) 따라서 구하는 직선의 개수는 $2 + 1 + 1 = 4$