두 이등분선의 발이 평행선을 만들 때

실마리: 평행 조건 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} / / \overline{\mathrm{BC}}$를 두 변 위의 비 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{FB}} = \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{EC}}$로 옮기고, 두 비를 각각 각의 이등분선 정리로 바꾼다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = b$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{C}$의 이등분선 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{FB}} = \overline{\mathrm{CA}} : \overline{\mathrm{CB}} = b : 10$ $\angle \mathrm{B}$의 이등분선 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{EC}} = \overline{\mathrm{BA}} : \overline{\mathrm{BC}} = 15 : 10 = 3 : 2$ $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} / / \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{FB}} = \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{EC}}$ $b : 10 = 3 : 2$에서 $b = 15$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \mathit{15}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} = 15 \times \frac{3}{5} = 9$ 삼각형 $\mathrm{AFE}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} : \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{AB}} = 9 : 15 = 3 : 5$ $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} = 10 \times \frac{3}{5} = 6$ (검산: $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} / / \overline{\mathrm{BC}}$에서 $\angle \mathrm{FEB} = \angle \mathrm{EBC} = \angle \mathrm{FBE}$이므로 삼각형 $\mathrm{FBE}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{FB}} = \overline{\mathrm{FE}}$인 이등변삼각형이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{FB}} = 15 - 9 = 6$으로 맞는다.) 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} = \mathit{6}$