두 이차함수와 원소의 합

[출제의도] 이차함수를 활용하여 문제해결하기 $\left\{ x | f ( x ) = t \right.$ 또는 $g ( x ) = t$, $x$는 실수$\}$ $= \left\{ x | f ( x ) = t , x \right.$는 실수$\} \cup \left\{ x | g ( x ) = t \right.$, $x$는 실수$\}$이므로 집합 $\left\{ x | f ( x ) = t \right.$ 또는 $g ( x ) = t$, $x$는 실수$\}$의 원소는 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 $x$좌표 또는 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 $x$좌표이다. 이차함수 $f ( x ) = x ^{2} + 2 x$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $( - 1 , - 1 )$ 이차함수 $g ( x ) = ( x - m ) ^{2} + m$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $( m , m )$ $x ^{2} + 2 x = ( x - m ) ^{2} + m$에서 $\displaystyle x = \frac{m}{2}$ 두 이차함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프의 교점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{m}{2} , \frac{m ^{2}}{4} + m \right)$이므로 $\displaystyle t \neq \frac{m ^{2}}{4} + m$일 때 $\left\{ x | f ( x ) = t , x \right.$는 실수$\}$$\cap \left\{ x | g \left( x \right) = t , x \right.$는 실수$\left. \right\} = \emptyset$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle t = \frac{m ^{2}}{4} + m$일 때 $\left\{ x | f ( x ) = t , x \right.$는 실수$\}$$\cap \left\{ x | g \left( x \right) = t , x \right.$는 실수$\displaystyle \left. \right\} = \left\{ \frac{m}{2} \right\}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 두 이차함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프 및 직선 $y = t$는 그림과 같다.

직선 $y = t \left( t > - 1 \right)$은 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = - 1$에 대하여 대칭이다. 그러므로 집합 $\left\{ x | f ( x ) = t , x \right.$는 실수$\}$의 모든 원소의 합은 $- 2$ $\cdots \cdots$ ㉢ (ⅰ) $- 1 < t < m$일 때 직선 $y = t$는 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프와 만나지 않으므로 $\left\{ x | g ( x ) = t , x \right.$는 실수$\} = \emptyset$이고 ㉢에 의하여 $h \left( t \right) = - 2$ (ⅱ) $t = m$일 때 직선 $y = m$은 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프와 한 점 $( m , m )$에서 만나므로 $\left\{ x | g ( x ) = t , x \right.$는 실수$\} = \left\{ m \right\}$이고 ㉠, ㉢에 의하여 $h \left( t \right) = m - 2$ (ⅲ) $\displaystyle m < t < \frac{m ^{2}}{4} + m$ 또는 $\displaystyle t > \frac{m ^{2}}{4} + m$일 때 직선 $y = t$는 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다. 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프는 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 집합 $\left\{ x | g ( x ) = t , x \right.$는 실수$\}$의 모든 원소의 합은 $2 m$이고 ㉠, ㉢에 의하여 $h ( t ) = 2 m - 2$ (ⅳ) $\displaystyle t = \frac{m ^{2}}{4} + m$일 때 직선 $\displaystyle y = \frac{m ^{2}}{4} + m$은 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다. 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프는 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 집합 $\left\{ x | g ( x ) = t , x \right.$는 실수$\}$의 모든 원소의 합은 $2 {\mathrm{m}}$이고 ㉡, ㉢에 의하여 $\displaystyle h ( t ) = 2 m - 2 - \frac{m}{2} = \frac{3}{2} m - 2$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 함수 $h ( t )$는 다음과 같다. $\displaystyle h \left( t \right) = {\begin{cases} - 2 & & \left( - 1 < t < m \right) \\ m - 2 & & \left( t = m \right) \\ 2 m - 2 & & \left( m < t < \frac{m ^{2}}{4} + m \text{또는} t > \frac{m ^{2}}{4} + m \right) \\ \frac{3}{2} m - 2 & & \left( t = \frac{m ^{2}}{4} + m \right) \end{cases}}$ 함수 $h ( t )$의 치역은 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$$- 2$, $m - 2$, $\displaystyle \frac{3}{2} m - 2$, $2 m - 2$$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right\}$이므로 모든 원소의 합은 $\displaystyle - 2 + ( m - 2 ) + \left( \frac{3}{2} m - 2 \right) + ( 2 m - 2 ) = 19$ 따라서 $m = 6$