두 이차함수 실근 집합

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 함수를 추론한다. ${\alpha \in A}$, ${\alpha \in B}$이므로 ${f ( \alpha ) = g ( \alpha ) = 1}$이다. 또한 ${\beta \in A}$, ${\beta \notin B}$이므로 ${f ( \beta ) = 1}$, ${g ( \beta ) \ne 1}$ 또는 ${f ( \beta ) \ne 1}$, ${g ( \beta ) = 1}$이다. 즉, 방정식 ${f ( x ) = 1}$의 모든 실근의 집합을 ${C}$, 방정식 ${g ( x ) = 1}$의 모든 실근의 집합을 ${D}$라 하면 ${C = \left\{ \alpha , \beta \right\}}$, ${D = \left\{ \alpha \right\}}$ 또는 ${C = \left\{ \alpha \right\}}$, ${D = \left\{ \alpha , \beta \right\}}$이다. (ⅰ) ${C = \left\{ \alpha , \beta \right\}}$, ${D = \left\{ \alpha \right\}}$일 때 두 함수 ${f ( x )}$, ${g ( x )}$의 식은 ${f ( x ) = 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) + 1}$, ${g ( x ) = \left( x - \alpha \right) ^{2} + 1}$ …… ㉠ 이때 ${\beta + 3 {\in} B}$에서 ${f ( \beta + 3 ) = g ( \beta + 3 )}$이므로 ${2 \left( \beta + 3 - \alpha \right) {\times} 3 + 1 = \left( \beta + 3 - \alpha \right) ^{2} + 1}$ ${\beta + 3 - \alpha = 0}$ 또는 ${\beta + 3 - \alpha = 6}$ 즉, ${\beta - \alpha = \mathit{-} 3}$ 또는 ${\beta - \alpha = 3}$ ${\alpha < \beta}$이므로 ${\beta - \alpha = 3}$ …… ㉡ 두 곡선 ${y = f ( x )}$, ${y = g ( x )}$와 직선 ${y = 1}$은 [그림 1]과 같다.

[그림 1]

[그림 1]에서 방정식 ${\left\{ f ( x ) - k \right\} \left\{ g ( x ) - k \right\} = 0}$의 서로 다른 실근의 개수가 ${3}$이 되도록 하는 실수 ${k}$의 값은 ${k = g ( \beta + 3 )}$이다. …… ㉢ 곡선 ${y = f ( x )}$의 축의 방정식은 $\displaystyle {x = \frac{\alpha + \beta}{2}}$이므로 곡선 ${y = f ( x )}$와 직선 ${y = k}$의 교점의 ${x}$좌표는 ${\alpha - 3}$, ${\beta + 3}$이다. 이때 ${\alpha - 3}$${= \left( \beta - 3 \right) - 3}$${= \beta - 6}$이다. 또한, 곡선 ${y = g ( x )}$의 축의 방정식은 ${x = \alpha}$이므로 곡선 ${y = g ( x )}$와 직선 ${y = k}$의 교점의 ${x}$좌표는 ${2 \alpha - \beta - 3}$, ${\beta + 3}$이다. 이때 ${2 \alpha - \beta - 3 = 2 \left( \beta - 3 \right) - \beta - 3 = \beta - 9}$이다.

[그림 2]

[그림 2]에서 방정식 ${\left\{ f ( x ) - k \right\} \left\{ g ( x ) - k \right\} = 0}$의 서로 다른 실근은 ${\beta - 9}$, ${\beta - 6}$, ${\beta + 3}$이고 그 합이 ${12}$이므로 ${\left( \beta - 9 \right) + \left( \beta - 6 \right) + \left( \beta + 3 \right) = 12}$, ${\beta = 8}$ ㉡에서 ${\alpha = 5}$ ㉠에서 ${f ( x ) = 2 \left( x - 5 \right) \left( x - 8 \right) + 1}$, ${g ( x ) = \left( x - 5 \right) ^{2} + 1}$ ㉢에서 ${k}$${= g \left( \beta + 3 \right)}$${= g ( 11 )}$${= \left( 11 - 5 \right) ^{2} + 1}$${= 37}$ (ⅱ) ${C = \left\{ \alpha \right\}}$, ${D = \left\{ \alpha , \beta \right\}}$일 때 두 함수 ${f ( x )}$, ${g ( x )}$의 식은 ${f ( x ) = 2 \left( x - \alpha \right) ^{2} + 1}$, ${g ( x ) = \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) + 1}$이다. 이때 ${\beta + 3 {\in} B}$에서 ${f ( \beta + 3 ) = g ( \beta + 3 )}$이므로 ${2 \left( \beta + 3 - \alpha \right) ^{2} + 1 = \left( \beta + 3 - \alpha \right) {\times} 3 + 1}$ ${\beta + 3 - \alpha = 0}$ 또는 $\displaystyle {\beta + 3 - \alpha = \frac{3}{2}}$ 즉, ${\beta - \alpha = \mathit{-} 3}$ 또는 $\displaystyle {\beta - \alpha = \mathit{-} \frac{3}{2}}$ 이때 두 경우 모두 ${\alpha < \beta}$라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 ${\alpha = 5}$, ${\beta = 8}$, ${k = 37}$ 따라서 ${\alpha + \beta + k = 5 + 8 + 37 = 50}$