두 이차함수 최대 최소 조건

조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \leq 0$이므로 함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 음수이고 최댓값은 $\mathrm{0}$보다 작거나 같다. 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \geq 0$이므로 함수 $g ( x )$는 최고차항의 계수가 양수이고 최솟값은 $\mathrm{0}$보다 크거나 같다. 조건 (나)에서 함수 $f ( x )$의 최댓값과 함수 $g ( x )$의 최솟값이 같아지기 위해서는 함수 $f ( x )$의 최댓값과 함수 $g ( x )$의 최솟값이 모두 $\mathrm{0}$이어야 한다. 그러므로 $\displaystyle \begin{array}{lll} f \left( x \right) = a \left( x - b \right) ^{2} \left( a < 0 \right) & & \cdots \cdots \text{㉠} \\ g \left( x \right) = c \left( x - d \right) ^{2} \left( c > 0 \right) & & \cdots \cdots \text{㉡} \end{array}$ 이라 하자. (ⅰ) $b = d$인 경우

$k - 2 \leq b \leq k + 2$에서 $b - 2 \leq k \leq b + 2$이므로 $k$의 최솟값이 $\mathrm{0}$, 최댓값이 $\mathrm{1}$이 되도록 하는 실수 $b$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $b < d$인 경우

$k$의 최솟값이 $\mathrm{0}$, 최댓값이 $\mathrm{1}$이고 $k - 2 \leq b$, $d \leq k + 2$에서 $d - 2 \leq k \leq b + 2$이므로 $b = - 1$, $d = 2$이다. ㉠에 $b = - 1$을 대입하고 ㉡에 $d = 2$를 대입하면 $f \left( x \right) = a \left( x + 1 \right) ^{2}$, $g ( x ) = c ( x - 2 ) ^{2}$이다. 방정식 $f ( x ) = f ( 0 )$은 $a ( x + 1 ) ^{2} = a$이고 $( x + 1 ) ^{2} = 1$, $x ^{2} + 2 x = 0$에서 모든 실근의 합은 $\mathrm{-} 2$이므로 조건 (다)를 만족시킨다. $f \left( 1 \right) = 4 a = - 2$에서 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$이고 $g \left( 1 \right) = c = 2$이다. $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{1}{2} \left( x + 1 \right) ^{2}$, $g \left( x \right) = 2 \left( x - 2 \right) ^{2}$이므로 $f \left( 3 \right) = - 8$, $g ( 11 ) = 162$이다. 그러므로 $f ( 3 ) + g ( 11 ) = 154$이다. (ⅲ) $d < b$인 경우

$k$의 최솟값이 $\mathrm{0}$, 최댓값이 $\mathrm{1}$이고 $k - 2 \leq d$, $b \leq k + 2$에서 $b - 2 \leq k \leq d + 2$이므로 $b = 2$, $d = - 1$이다. ㉠에 $b = 2$를 대입하고 ㉡에 $d = - 1$을 대입하면 $f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) ^{2}$, $g \left( x \right) = c \left( x + 1 \right) ^{2}$이다. 방정식 $f ( x ) = f ( 0 )$은 $a ( x - 2 ) ^{2} = 4 a$이고 $( x - 2 ) ^{2} = 4$, $x ^{2} - 4 x = 0$에서 모든 실근의 합은 $\mathrm{4}$이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. 따라서(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 $f ( 3 ) + g ( 11 ) = 154$이다. [참고] 조건 (다)에 의해 $b$는 음수이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.