두 이차함수 부등식 조건

[출제의도] 부등식을 활용하여 이차함수의 그래프 추론하기 조건 (가)에서 $f \left( x \right) = ax ^{2}$($a \ne 0$) 조건 (나)를 만족시키려면 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 일차식이어야 하므로 $g \left( x \right) = \mathit{-} ax ^{2} + bx + c$($b \ne 0$)으로 나타낼 수 있다. $f \left( x \right) + g \left( x \right) = bx + c$이고 부등식 $bx + c \geq 0$의 해가 $x \geq 2$이므로 $b > 0$, $\displaystyle - \frac{c}{b} = 2$에서 $c = \mathit{-} 2 b$ 조건 (다)를 만족시키려면 함수 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 2 ax ^{2} - bx + 2 b$가 $x = 1$에서 최솟값을 가지므로 $a > 0$이고, $\displaystyle \frac{b}{4 a} = 1$에서 $b = 4 a$ 조건 (나)에서 $c = \mathit{-} 2 b$이므로 $c = \mathit{-} 8 a$ 즉, $g \left( x \right) = \mathit{-} a \left( x ^{2} - 4 x + 8 \right) = \mathit{-} a \left( x - 2 \right) ^{2} - 4 a$ 두 조건 (가), (나)에서 $f \left( x \right) + g \left( x \right) = 4 a \left( x - 2 \right)$이다. 방정식 $\left\{ f \left( x \right) - k \right\} \times \left\{ g \left( x \right) - k \right\} = 0$이 실근을 갖지 않기 위해서는 방정식 $f \left( x \right) - k = 0$은 실근을 갖지 않고, 방정식 $g \left( x \right) - k = 0$도 실근을 갖지 않아야 한다. 즉, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나지 않고, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$도 만나지 않으므로 직선 $y = k$는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프 사이에 있다. 그러므로 정수 $k$는 함수 $g \left( x \right)$의 최댓값인 $- 4 a$보다 크고, 함수 $f \left( x \right)$ 의 최솟값인 $0$보다 작다.

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$

$- 4 a < k < 0$을 만족시키는 정수 $k$의 개수가 $5$이므로 $- 6 \leq \mathit{-} 4 a < \mathit{-} 5$에서 $\displaystyle \frac{5}{4} < a \leq \frac{3}{2}$ 따라서 $f \left( 22 \right) + g \left( 22 \right) = 4 a \left( 22 - 2 \right) = 80 a$이므로 $f \left( 22 \right) + g \left( 22 \right)$의 최댓값은 $120$이다.