두 이차함수 방정식

(가)에서 $4 x ^{2} - 2 \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} x + f \left( x \right) g \left( x \right) = 0$ 방정식 $\left\{ 2 x - f \left( x \right) \right\} \left\{ 2 x - g \left( x \right) \right\} = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$이므로 ㉠ 방정식 $2 x = f \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$, 방정식 $2 x = g \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $0$인 경우 ㉡ 방정식 $2 x = f \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $0$, 방정식 $2 x = g \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$인 경우 ㉢ 방정식 $2 x = f \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$, 방정식 $2 x = g \left( x \right)$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$이고 그 실근이 같은 경우 중 하나이다. (나)에서 $4 k ^{2} - 2 \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} k + f \left( x \right) g \left( x \right) = 0$ 방정식 $\left\{ 2 k - f \left( x \right) \right\} \left\{ 2 k - g \left( x \right) \right\} = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 ㉣ 직선 $y = 2 k$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 교점의 개수와 ㉤ 직선 $y = 2 k$와 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 교점 중 위 ㉣이 아닌 교점의 개수 의 합과 같다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) - g \left( x \right) \geq 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq g \left( x \right)$이다. $f \left( x \right) = g \left( x \right)$가 $x$에 대한 항등식인 경우는 (나)를 만족시키지 않으므로 함수의 그래프 위치 관계를 나타내는 그림은 다음과 같다. (ⅰ) $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수와 $g \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 모두 양수인 경우

[그림$3$]

방정식 $4 k ^{2} - 2 \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} k + f \left( x \right) g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 $k$의 개수가 $2$ 이하이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수와 $g \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 모두 음수인 경우

[그림$6$]

방정식 $4 k ^{2} - 2 \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} k + f \left( x \right) g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 $k$의 개수가 $2$ 이하이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 양수, $g \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 음수인 경우

[그림$9$]

모든 조건을 만족시키는 그래프 개형은 [그림 $9$]의 경우가 유일하다.

[그림$9 - 1$]

따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 원점에서 직선 $y = 2 x$와 접하고, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프도 원점에서 직선 $y = 2 x$에 접한다. $f \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx \left( a > 0 \right)$, $g \left( x \right) = cx ^{2} + dx \left( c < 0 \right)$ 이라 하면 $ax ^{2} + bx = 2 x$, $ax ^{2} + \left( b - 2 \right) x = 0$의 판별식 $D _{1} = \left( b - 2 \right) ^{2} = 0$이므로 $b = 2$ $cx ^{2} + dx = 2 x$, $cx ^{2} + \left( d - 2 \right) x = 0$의 판별식 $D _{2} = \left( d - 2 \right) ^{2} = 0$이므로 $d = 2$ 또한 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = ax ^{2} + 2 x = a \left( x + \frac{1}{a} \right) ^{2} - \frac{1}{a}$의 최솟값은 $\displaystyle - \frac{1}{a} = - 1$이므로 $a = 1$ 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = cx ^{2} + 2 x = c \left( x + \frac{1}{c} \right) ^{2} - \frac{1}{c}$의 최댓값은 $\displaystyle - \frac{1}{c} = 2$이므로 $\displaystyle c = - \frac{1}{2}$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{2} + 2 x$, $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x$ $f \left( 10 \right) + g \left( 6 \right) = 120 + \left( - 6 \right) = 114$