공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 이차방정식 근의 곱 빈칸

문제

다음은 $k$ 가 실수일 때, $x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} - x - k = 0$ 의 두 근 $\alpha , \beta$ 와 $x ^{2} + kx - 1 = 0$ 의 두 근 $\gamma , \delta$ 에 대하여 $( \alpha - \gamma ) ( \beta - \gamma ) ( \alpha - \delta ) ( \beta - \delta )$ 의 값을 구하는 과정이다.

$f ( x ) = x ^{2} + kx - 1$ 이라 할 때, $f ( x ) = 0$ 의 두 근이 $\gamma , \delta$ 이므로 $( \alpha - \gamma ) ( \beta - \gamma ) ( \alpha - \delta ) ( \beta - \delta )$ $= {\square {( \text{가} )}}$ $= \left\{ \left( {\square {( \text{나} )}} ) \alpha + k - 1 \right\} \left\{ \left( {\square {( \text{나} )}} ) \beta + k - 1 \right\} \right. \right.$ $= ( {\square {( \text{나} )}} ) ^{2} \alpha \beta + ( {\square {( \text{나} )}} ) ( k - 1 ) ( \alpha + \beta ) + \left( k - 1 \right) ^{2}$ $= {\square {( \text{다} )}}$ 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$f ( \alpha ) f ( \beta )$	$k + 1$	$k ( k ^{2} + 3 )$
②	$f ( \alpha ) f ( \beta )$	$k + 1$	$- k ( k ^{2} + 3 )$
③	$f ( \alpha ) f ( \beta )$	$- k - 1$	$k ( k ^{2} + 3 )$
④	$f ( \gamma ) f ( \delta )$	$- k - 1$	$- k ( k ^{2} + 3 )$
⑤	$f ( \gamma ) f ( \delta )$	$- k - 1$	$k ( k ^{2} + 3 )$

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②

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 추론하기 $f ( x ) = x ^{2} + kx - 1$ 이라 할 때, $f ( x ) = 0$ 의 두 근이 $\gamma , \delta$ 이므로 $( \alpha - \gamma ) ( \beta - \gamma ) ( \alpha - \delta ) ( \beta - \delta )$ $= f ( \alpha ) f ( \beta )$ $= ( \alpha ^{2} + k \alpha - 1 ) ( \beta ^{2} + k \beta - 1 )$ $= \left\{ \left( k + 1 ) \alpha + k - 1 \right\} \left\{ \left( k + 1 ) \beta + k - 1 \right\} \right. \right.$ $= ( k + 1 ) ^{2} \alpha \beta + ( k + 1 ) ( k - 1 ) ( \alpha + \beta ) + \left( k - 1 \right) ^{2}$ $= - k ( k ^{2} + 3 )$ 이다.

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