두 이차방정식 근의 등비수열

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 등비수열에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{1}{2} a$, $\alpha \beta = 1$, $\displaystyle p + q = \frac{1}{2} b$, $p q = 2$ 이 때, $a , b$가 양수이므로 $\alpha , \beta , p , q$ 는 모두 양수이다. 한편, 네 수 $\alpha , p , \beta , q$ 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $\alpha = k , p = k r , \beta = k r ^{2} , q = k r ^{3}$ $( k > 0 , r > 0 )$로 놓으면 $\alpha \beta = k ^{2} r ^{2} = 1$, $p q = k ^{2} r ^{4} = 2$ $\therefore$ $\displaystyle r = \sqrt{2}$, $\displaystyle k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} , p = 1 , \beta = \sqrt{2} , q = 2$ $\displaystyle a = 2 ( \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} ) = 3 \sqrt{2}$ $b = 2 ( 1 + 2 ) = 6$ $\therefore$ $a ^{2} + b ^{2} = 18 + 36 = 54$