두 활꼴 넓이 최소

[출제의도] 절대부등식을 이해하고 활용하기 절대부등식$( a ^{2} + b ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} ) \geq ( ax + by ) ^{2}$에 의하여 $\displaystyle \left\{ ( 2 S _{1} ) ^{2} + ( S _{2} ) ^{2} \right\} \cdot \left\{ {\left( \frac{1}{2} \right)} ^{2} + 1 ^{2} \right\} \geq \left\{ \frac{1}{2} ( 2 S _{1} ) + S _{2} \right\} ^{2}$ $\displaystyle ( 4 S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} ) \cdot \left( \frac{1}{4} + 1 \right) \geq ( S _{1} + S _{2} ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{5}{4} ( 4 S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} ) \geq ( 4 \pi ) ^{2}$ $( \because S _{1} + S _{2} = 4 \pi )$ $\displaystyle 4 S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} \geq \frac{64}{5} \pi ^{2}$ 따라서 최솟값은 $\displaystyle \frac{64}{5} \pi ^{2}$이다. [다른 풀이] $S _{1} + S _{2} = 4 \pi$이므로 $S _{2} = 4 \pi - S _{1}$이다. 그러므로 $4 S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} = 4 S _{1} ^{2} + ( 4 \pi - S _{1} ) ^{2}$$\displaystyle = 5 \left( S _{1} - \frac{4 \pi}{5} \right) ^{2} + \frac{64}{5} \pi ^{2}$ ∴ $4 S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{64}{5} \pi ^{2}$