두 함수의 접선과 넓이 같음 조건

$f ( x )$와 $y = x - 1$의 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $f' ( t ) = 5 t ^{4} - 4 at ^{3} = 1$ $t ^{5} - at ^{4} = t - 1$ 정리하면 $\displaystyle a = \frac{5 t ^{4} - 1}{4 t ^{3}} = \frac{t ^{5} - t + 1}{t ^{4}}$ $t ^{5} + 3 t - 4 = 0$, $( t - 1 ) ( t ^{4} + t ^{3} + t ^{2} + t + 4 ) = 0$ $\therefore t = 1$, $a = 1$, $f ( x ) = x ^{4} ( x - 1 )$ 한편 $g ( x )$와 $y = x - 1$의 접점은 $( 1 , 0 )$이므로 $g' ( 1 ) = k ( 1 - b ) = 1$ 이제 두 영역의 넓이에서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} \left( x ^{4} - x ^{5} \right) dx = \int _{1} ^{b} {} k ( x - 1 ) ( x - b ) dx$ $\displaystyle \frac{1}{30} = \frac{- k ( b - 1 ) ^{3}}{6}$, $\displaystyle k ( b - 1 ) ^{3} = - \frac{1}{5}$ $\displaystyle k = \frac{1}{1 - b} = - \frac{1}{5 ( b - 1 ) ^{3}}$ $\displaystyle ( b - 1 ) ^{2} = \frac{1}{5}$ $\displaystyle \therefore b = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\displaystyle k = - \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle abk = - 1 - \sqrt{5}$