두 함수 사이 직선

[출제의도] 도함수를 이용하여 부등식과 관련된 문제를 해결한다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f ( x ) \leq 12 x + k \leq g ( x )$를 만족시키는 자연수 $k$의 값의 범위를 구하여 보자. (ⅰ) $f ( x ) \leq 12 x + k$ 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f ( x ) \leq 12 x + k$를 만족시키는 $k$의 값의 범위를 구하면 다음과 같다. $h ( x )$$= f ( x ) - 12 x$라고 하면 $h ( x )$$= \mathit{-} x ^{4} - 2 x ^{3} - x ^{2} - 12 x$, $h' ( x )$$= \mathit{-} 4 x ^{3} - 6 x ^{2} - 2 x - 12$$= \mathit{-} 2 ( x + 2 ) ( 2 x ^{2} - x + 3 )$ $h ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$h ( x )$는 $x = \mathit{-} 2$에서 최대이고 최댓값은 $20$ 그러므로 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f ( x ) \leq 12 x + k$를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $k \geq 20$ (ⅱ) $g ( x ) \geq 12 x + k$ 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $g ( x ) \geq 12 x + k$를 만족시키는 $k$의 값의 범위를 구하면 다음과 같다. 부등식 $3 x ^{2} - 12 x + a - k \geq 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 $3 x ^{2} - 12 x + a - k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4}$$= \left( - 6 \right) ^{2} - 3 \times \left( a - k \right)$$\leq 0$, $k \leq a - 12$ 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $g ( x ) \geq 12 x + k$를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $k \leq a - 12$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $20 \leq k \leq a - 12$이고 이를 만족시키는 자연수 $k$의 개수는 $3$이므로 $22 \leq a - 12 < 23$ 따라서 $34 \leq a < 35$이므로 자연수 $a$의 값은 $34$ [보충 설명] 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = 12 x + k$의 관계는 그림과 같다.