두 함수 중 고르는 연속함수

모든 실수 $x$에 대하여 $\left\{ h \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} \left\{ h \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} = 0$이므로 $h \left( x \right) = f \left( x \right)$ 또는 $h \left( x \right) = g \left( x \right)$ 함수 $h \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 조건 (나)에 의하여 $h \left( k \right) h \left( k + 2 \right) \leq 0$을 만족하는 서로 다른 실수 $k$의 개수가 $3$이므로 $h \left( x \right) < 0$인 구간이 존재하면 조건 (나)를 만족하지 못한다. 따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $h \left( x \right) \geq 0$ 이다.

삼차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 위의 그림과 같이 원점과 점 $\left( 2 , 0 \right)$을 지날 때 $h \left( k \right) h \left( k + 2 \right) \leq 0$을 만족하는 $k$의 개수가 $- 2$, $0$, $2$에서 $3$을 만족하므로 $g \left( x \right) = x \left( x - 2 \right) \left( x - a \right)$ ($a$는 상수) 라 하면 $\displaystyle \int _{- 3} ^{2} {} h \left( x \right) dx = 26$이므로 $\displaystyle \int _{- 3} ^{2} {} h \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{0} {} \left( x ^{2} - 2 x \right) dx + \int _{0} ^{2} {} x \left( x - 2 \right) \left( x - a \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{3}}{3} - x ^{2} \right] _{-3} ^{0} + \left[ \frac{x ^{4}}{4} - \frac{a + 2}{3} x ^{3} + ax ^{2} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = - \left( - 9 - 9 \right) + 4 - \frac{8 \left( a + 2 \right)}{3} + 4 a = 26$ $\therefore$ $a = 7$ $g \left( x \right) = x \left( x - 2 \right) \left( x - 7 \right)$이므로 방정식 $x ^{2} - 2 x = x \left( x - 2 \right) \left( x - 7 \right)$ 에서 $x \left( x - 2 \right) \left( x - 8 \right) = 0$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 교점의 $x$좌표가 $x = 0$, $x = 2$, $x = 8$이다. 이때 $h \left( 10 \right) > 80$이고 $f \left( 10 \right) = 80$, $g \left( 10 \right) > 0$이므로 함수 $h \left( x \right)$는 다음과 같다.

$\displaystyle h \left( x \right) = \begin{cases} x ^{2} - 2 x & \left( x < 0 \right) \\ x \left( x - 2 \right) \left( x - 7 \right) & \left( 0 \leq x < 2 \right) \\ x ^{2} - 2 x & \left( 2 \leq x < 8 \right) \\ x \left( x - 2 \right) \left( x - 7 \right) & \left( x \geq 8 \right) \end{cases}$ $h \left( 1 \right) = 1 \times \left( - 1 \right) \times \left( - 6 \right) = 6$ $h \left( 6 \right) = 6 ^{2} - 2 \times 6 = 24$ $h \left( 9 \right) = 9 \times 7 \times 2 = 126$ $\therefore$ $h \left( 1 \right) + h \left( 6 \right) + h \left( 9 \right) = 6 + 24 + 126 = 156$