두 함수 합차 조건

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 두 이차함수를 추측한다. 조건 (나)에서 두 함수 $y = h _{1} \left( x \right)$, $y = h _{2} \left( x \right)$의 그래프가 오직 한 점 $\left( 1 , 9 \right)$에서 만나므로 방정식 $h _{1} \left( x \right) = h _{2} \left( x \right)$의 실근은 $x = 1$ 하나뿐이다. 따라서 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = f \left( x \right) + g \left( x \right)$ $g \left( x \right) = 0$ 이 중근 $x = 1$을 갖는다. 이차함수 $g \left( x \right)$의 이차항의 계수가 $1$이므로 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2}$ …… ㉠ 이다. 함수 $h _{1} \left( x \right)$의 이차항의 계수는 $1$이고 조건 (가)에 의하여 함수 $y = h _{1} \left( x \right)$의 그래프가 $x$축에 접한다. 또, 조건 (다)에 의하여 함수 $y = h _{1} \left( x \right)$는 $x = \alpha$에서 최솟값을 가지므로 $h _{1} \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) ^{2}$ 이다. 이때 $h _{1} \left( 1 \right) = 9$이므로 $9 = \left( 1 - \alpha \right) ^{2}$ $\alpha = \mathit{-} 2$ 또는 $\alpha = 4$ 조건 (다)에 의하여 함수 $y = h _{2} \left( x \right)$는 $x = \beta$에서 최댓값을 가지고 $\alpha > \beta$이므로 이 조건을 만족하는 두 함수 $y = h _{1} \left( x \right)$, $y = h _{2} \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 $\alpha = 4$이다. $h _{1} \left( x \right) = \left( x - 4 \right) ^{2}$이므로 ㉠에 의하여 $f \left( x \right)$$= h _{1} \left( x \right) - g \left( x \right)$$= \left( x - 4 \right) ^{2} - \left( x - 1 \right) ^{2}$$= \mathit{-} 6 x + 15$ …… ㉡ 이다. ㉠, ㉡에 의하여 $h _{2} \left( x \right)$$= f \left( x \right) - g \left( x \right)$$= \left( - 6 x + 15 \right) - \left( x - 1 \right) ^{2}$$= \mathit{-} x ^{2} - 4 x + 14$ $= \mathit{-} \left( x + 2 \right) ^{2} + 18$ 이다. 이때 함수 $y = h _{2} \left( x \right)$는 $x = \mathit{\beta}$에서 최댓값을 가지므로 $\beta = \mathit{-} 2$이다. $f \left( \beta \right) = f \left( - 2 \right) = \mathit{-} 6 \times \left( - 2 \right) + 15 = 27$ $g \left( \alpha \right) = g \left( 4 \right) = \left( 4 - 1 \right) ^{2} = 9$ 이므로 $f \left( \beta \right) \times g \left( \alpha \right)$$= 27 \times 9$$= 243$