두 구에 외접하는 구

두 구$x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1$, $( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 4$ 의 중심을 각각 $O ( 0 , 0 , 0 )$, $A ( 2 , - 1 , 2 )$라 하면 두 구의 중심 사이의 거리 $d$는 $\displaystyle d = \overline{OA} = \sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = 3$ 이고, 두 구의 반지름의 길이가 각각 $r _{1} = 1$, $r _{2} = 2$이므로 $d = r _{1} + r _{2}$ 따라서, 두 구는 외접한다. 조건을 만족하는 점$P$의 자취는 선분$OA$로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취 즉, 원을 나타낸다.

그림에서 $\displaystyle \overline{OR} = \sqrt{3 ^{2} - 2 ^{2}} = \sqrt{5}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 3 \times \overline{PQ}$ 에서 $\displaystyle \overline{PQ} = \frac{4}{3} \sqrt{5}$ 따라서, 점$P$의 자취는 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{4}{3} \sqrt{5}$인 원이므로 구하는 둘레의 길이는 $\displaystyle 2 \pi \times \frac{4}{3} \sqrt{5} = \frac{8 \sqrt{5}}{3} \pi$