기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 구 교원 내적

문제

좌표공간에서 중심이 점 AA인 구 (x−2)2+(y−1)2+(z+1)2=94\displaystyle ( x - 2 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} + ( z + 1 ) ^{2} = \frac{9}{4}와 중심이 점 BB인 구 (x−3)2+(y−3)2+(z−1)2=274\displaystyle ( x - 3 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = \frac{27}{4}가 만나서 생기는 원을 SS라 하자. 원 SS 위의 두 점 P,QP , Q에 대하여 AP⃗∙BQ⃗\vec{AP} \bullet \vec{BQ}의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라고 할 때, M−m=ba\displaystyle M - m = \frac{b}{a}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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35

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해설

AP⃗∙BP⃗=∣AP⃗∣∣BQ⃗∣cos⁡θ\vec{AP} \bullet \vec{BP} = \left| \vec{AP} \right| \left| \vec{BQ} \right| \cos \theta 이고, ∣AP⃗∣=32,∣BQ⃗∣=332\displaystyle \left| \vec{AP} \right| = \frac{3}{2} , \left| \vec{BQ} \right| = \frac{3 \sqrt{3}}{2} 이므로 두 벡터가 이루는 각 θ\theta에 의하여 최댓값과 최솟값이 결정된다. 최댓값은 원 SS에서 PP와 QQ가 서로 만날 때, 최솟값은 원 SS에의 지름의 양끝 점에서 두 벡터의 종점이 위치할 때의 값이다. 두 구의 중심 AA와 BB사이의 거리는 3이고 ∣AP⃗∣=32,∣BQ⃗∣=332\displaystyle \left| \vec{AP} \right| = \frac{3}{2} , \left| \vec{BQ} \right| = \frac{3 \sqrt{3}}{2} 이므로, 내적의 최댓값은 두 벡터가 이루는 각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}일 때로 0이고, 내적의 최솟값은 두 벡터가 이루는 각의 크기가 56π\displaystyle \frac{5}{6} \pi일 때로 AP⃗∙BQ⃗=∣AP⃗∣∣BQ⃗∣cos⁡θ=32∙332∙(−32)=−278\displaystyle \vec{AP} \bullet \vec{BQ} = \left| \vec{AP} \right| \left| \vec{BQ} \right| \cos \theta = \frac{3}{2} \bullet \frac{3 \sqrt{3}}{2} \bullet \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = - \frac{27}{8} 이므로 M−m=0−(−278)=278\displaystyle M - m = 0 - ( - \frac{27}{8} ) = \frac{27}{8}이다. ∴a+b=35\therefore a + b = 35

태그

#내적#구

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