두 곡선의 교점 개수

[출제의도] 함수의 그래프의 개형을 이용하여 두 곡선이 두 점에서 만나도록 하는 조건을 구할 수 있는가 두 곡선 $y = 2 x ^{2} - 1$, $y = x ^{3} - x ^{2} + k$가 만나는 점의 개수가 $2$가 되려면 방정식 $2 x ^{2} - 1 = x ^{3} - x ^{2} + k$, 즉 $- x ^{3} + 3 x ^{2} - 1 = k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 $y = \mathit{-} x ^{3} + 3 x ^{2} - 1$과 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. $f \left( x \right) = \mathit{-} x ^{3} + 3 x ^{2} - 1$이라 하면 $f' \left( x \right) = \mathit{-} 3 x ^{2} + 6 x = \mathit{-} 3 x \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극솟값 $f \left( 0 \right) = \mathit{-} 1$을 갖고, $x = 2$에서 극댓값 $f \left( 2 \right) = 3$을 갖는다. 이때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$의 값은 $3$이다.