두 곡선 사이의 넓이

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가? 두 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ( 4 - x ) , g ( x ) = | x - 1 | - 1$의 그래프는 다음과 같다.

$x < 1$일 때, $g ( x ) = - x$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} x ( 4 - x ) = - x$에서 $x = 0$ $x \geq 1$일 때, $g ( x ) = x - 2$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} x ( 4 - x ) = x - 2$에서 $4 x - x ^{2} = 3 x - 6 ,$ $x ^{2} - x - 6 = ( x - 3 ) ( x + 2 ) = 0$ $x = 3$ 따라서 구하는 넓이는 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} dx + \int _{1} ^{3} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left( - \frac{1}{3} x ^{2} + \frac{7}{3} x \right) dx + \int _{1} ^{3} \left( - \frac{1}{3} x ^{2} + \frac{1}{3} x + 2 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{9} x ^{3} + \frac{7}{6} x ^{2} \right] _{0} ^{1} + \left[ - \frac{1}{9} x ^{3} + \frac{1}{6} x ^{2} + 2 x \right] _{1} ^{3}$ $\displaystyle = \left( - \frac{1}{9} + \frac{7}{6} \right) + \left\{ \left( - 3 + \frac{3}{2} + 6 \right) - \left( - \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + 2 \right) \right.$ $\displaystyle = \frac{7}{2}$ 이므로 $4 S = 14$