두 곡선 사이 넓이

두 함수 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프의 교점의 $x$좌표는 (ⅰ) $x < 1$일 때 $- 5 x - 4 = \mathit{-} x ^{2} - 2 x$에서 $x ^{2} - 3 x - 4 = 0$ $( x + 1 ) ( x - 4 ) = 0$ $\therefore$$x = \mathit{-} 1$ (ⅱ) $x \geq 1$일 때 $x ^{2} - 2 x - 8 = \mathit{-} x ^{2} - 2 x$에서 $2 x ^{2} - 8 = 0$ $( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0$ $\therefore$$x = 2$ (ⅰ), (ⅱ)에서 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} \left\{ - x ^{2} - 2 x - ( - 5 x - 4 ) \right\} dx$ $\displaystyle + \int _{1} ^{2} \left\{ - x ^{2} - 2 x - \left( x ^{2} - 2 x - 8 \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} \left( - x ^{2} + 3 x + 4 \right) dx + \int _{1} ^{2} \left( - 2 x ^{2} + 8 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + 4 x \right] _{0} ^{1} + \left[ - \frac{2}{3} x ^{3} + 8 x \right] _{1} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{32}{3}$