미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 곡선 사이 넓이

문제

두 곡선 y=(sin⁡x)ln⁡xy = \left( \sin x \right) \ln x, y=cos⁡xx\displaystyle y = \frac{\cos x}{x}와 두 직선 x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}, x=πx = \pi로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①14ln⁡π\displaystyle \frac{1}{4} \ln \pi②12ln⁡π\displaystyle \frac{1}{2} \ln \pi③34ln⁡π\displaystyle \frac{3}{4} \ln \pi④ln⁡π\ln \pi⑤54ln⁡π\displaystyle \frac{5}{4} \ln \pi

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④

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해설

[출제의도] 부분적분법을 활용하여 문제해결하기 ∫π2π{(sin⁡x)ln⁡x−cos⁡xx}dx\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {\left\{ \left( \sin x \right) \ln x - \frac{\cos x}{x} \right\}} dx =∫π2π(sin⁡x)ln⁡xdx−∫π2πcos⁡xxdx\displaystyle = \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {\left( \sin x \right) \ln x} dx - \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {\frac{\cos x}{x}} dx ={[(−cos⁡x)ln⁡x]π2π−∫π2π(−cos⁡xx)dx}−∫π2πcos⁡xxdx\displaystyle = \left\{ \left[ \left( - \cos x \right) ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \ln x _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} \right] _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} - \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {\left( - \frac{\cos x}{x} \right)} dx \right\} - \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {\frac{\cos x}{x}} dx =[(−cos⁡x)ln⁡x]π2π\displaystyle = \left[ \left( - \cos x \right) \ln x _{{} _{}} ^{{} ^{}} \right] _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} =ln⁡π= \ln \pi

태그

#넓이#부분적분

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