미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 곡선 넓이 공식 증명

문제

다음은 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 y=x2y = x ^{2} 과 y=ax2+bx+cy = ax ^{2} + bx + c에 대하여 d=b2−4c(a−1)d = b ^{2} - 4 c ( a - 1 )이라 하고, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 SS라 할 때 S=dd6(a−1)2\displaystyle S = \frac{d \sqrt{d}}{6 ( a - 1 ) ^{2}} 임을 증명하는 과정이다. (단, a≠0a \neq 0이고 aa, bb, cc는 실수) [증명] 두 곡선 y=x2y = x ^{2}과 y=ax2+bx+cy = ax ^{2} + bx + c가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 (a−1)x2+bx+c=0( a - 1 ) x ^{2} + bx + c = 0은 서로 다른 두 실근 α,β\alpha , \beta(α<β)( \alpha < \beta )를 갖는다. 따라서 a≠1a \ne 1, d>0d > 0이고 β−α=\beta - \alpha = (가)

………㉠ 그런데 ∫αβ{(a−1)x2+bx+c}dx\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} {} \left\{ ( a - 1 ) x ^{2} + b x + c \right\} dx ==(\left( \right. (나)

)\left) \right.∫αβ(x−α)(x−β)dx\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} {} ( x - \alpha ) ( x - \beta ) dx == (다)

………㉡ 따라서 ㉠과 ㉡에 의해 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 SS는 SS==∣□(다)∣\left| \square {( \text{다} )} \right| =dd6(a−1)2\displaystyle = \frac{d \sqrt{d}}{6 ( a - 1 ) ^{2}}

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
① d∣a−1∣\displaystyle \frac{\sqrt{d}}{| a - 1 |}1−a1 - a1−a6(β−α)3\displaystyle \frac{1 - a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}
② d∣a−1∣\displaystyle \frac{\sqrt{d}}{| a - 1 |}a−1a - 1a−16(β−α)3\displaystyle \frac{a - 1}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}
③ da−1\displaystyle \frac{\sqrt{d}}{a - 1}1−a1 - aa−16(β−α)3\displaystyle \frac{a - 1}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}
④ d∣a−1∣\displaystyle \frac{\sqrt{d}}{| a - 1 |}a−1a - 11−a6(β−α)3\displaystyle \frac{1 - a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}
⑤da−1\displaystyle \frac{\sqrt{d}}{a - 1}a−1a - 11−a6(β−α)3\displaystyle \frac{1 - a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}
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④

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해설

(β−α)2=(α+β)2−4αβ=(−ba−1)2−4ca−1\displaystyle ( \beta - \alpha ) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta = \left( \frac{- b}{a - 1} \right) ^{2} - 4 \frac{c}{a - 1} =b2−4c(a−1)(a−1)2=d(a−1)2\displaystyle = \frac{b ^{2} - 4 c ( a - 1 )}{( a - 1 ) ^{2}} = \frac{d}{( a - 1 ) ^{2}} β−α=\beta - \alpha =□d∣a−1∣\displaystyle {\square {\frac{\sqrt{d}}{\left| a - 1 \right|}}} ∫αβ{(a−1)x2+bx+c}dx\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} {} \left\{ ( a - 1 ) x ^{2} + b x + c \right\} dx ==□(a−1)∫αβ(x−α)(x−β)dx\displaystyle {\square {( a - 1 )}} \int _{\alpha} ^{\beta} {} ( x - \alpha ) ( x - \beta ) dx =□1−a6(β−α)3\displaystyle = {\square {\frac{1 - a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}}} SS==∣|□1−a6(β−α)3\displaystyle {\square {\frac{1 - a}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}}}∣| =dd6(a−1)2\displaystyle = \frac{d \sqrt{d}}{6 ( a - 1 ) ^{2}}

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#넓이#빈칸 추론

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