두 곡선 교점 조건

$f' ( x ) - g' ( x )$$= 6 x ^{2} - 2 x$이므로 $f ( x ) - g ( x )$$= 2 x ^{3} - x ^{2} + C$이다. $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$가 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 $f ( x ) - g ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. $f ( x ) - g ( x )$는 삼차함수이므로 방정식 $f ( x ) - g ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 $f ( x ) - g ( x )$의 (극솟값)$= 0$또는 (극댓값)$= 0$이어야 한다.

$f' ( x ) - g' ( x )$$= 2 x ( 3 x - 1 )$$= 0$에서 $x = 0$또는 $\displaystyle x = \frac{1}{3}$이므로 $f ( 0 ) - g ( 0 ) = C = 0$또는 $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) - g \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} + C = 0$ ∴ $C = 0$또는 $\displaystyle C = \frac{1}{27}$ ∴ $\displaystyle \frac{q}{p} = 0 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27}$ ∴ $p = 27$, $q = 1$, $p + q = 28$