두 그래프 넓이

$f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 x - 1 = ( 3 x - 1 ) ( x + 1 )$ $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1 + 3 - 9}{27} = - \frac{5}{27}$, $f ( - 1 ) = - 1 + 1 + 1 = 1$

얻어진 극점을 이용해서 그래프를 그려보면 위의 그림과 같다. 두 점에서 만나는 경우는 위의 그림과 같이 $g ( x ) = 4 x + k$가 $f ( x ) = x ^{3} + x ^{2} - x$와 접할 때이다. 접점을 $\alpha$라 할 때, $\displaystyle \begin{cases} 4 \alpha + k = \alpha ^{3} + \alpha ^{2} - \alpha \\ 4 = 3 \alpha ^{2} + 2 \alpha - 1 \end{cases}$ $3 \alpha ^{2} + 2 \alpha - 5 = ( 3 \alpha + 5 ) ( \alpha - 1 ) = 0$에서 $\alpha > 0$이므로 $\alpha = 1$ $4 + k = 1 + 1 - 1 , \therefore k = - 3$

위의 그림에서 음수인 교점은 $x ^{3} + x ^{2} - x = - 4 x - 3$의 실근이므로 $x ^{3} + x ^{2} + 3 x + 3 = ( x ^{2} + 3 ) ( x + 1 ) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $x = - 1$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{0} {} \left\{ \left( x ^{3} + x ^{2} - x \right) - ( - 4 x - 3 ) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{0} {} \left( x ^{3} + x ^{2} + 3 x + 3 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{3}{2} x ^{2} + 3 x \right] _{- 1} ^{0}$ $\displaystyle = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 3 \right)$ $\displaystyle = \frac{- 3 + 4 - 18 + 36}{12} = \frac{19}{12}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} \left\{ \left( x ^{3} + x ^{2} - x \right) - ( 4 x - 3 ) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left( x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 3 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{5}{2} x ^{2} + 3 x \right] _{0} ^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 3$ $\displaystyle = \frac{3 + 4 - 30 + 36}{12} = \frac{13}{12}$ $\displaystyle \therefore \frac{13}{12} + \frac{19}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$, $\therefore 30 S = 80$