두 근의 함숫값 같은 이차식

[출제의도] 조건을 이용하여 이차식 구하기 $x ^{2} + x - 3 = 0$의 두 근이 $\alpha , \beta$이므로 $\alpha + \beta = - 1$, $\alpha \beta = - 3$, $\alpha ^{2} + \alpha = 3$이다. $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$라 하면 $f ( \alpha ) = \alpha ^{2} + a \alpha + b = 1$ ……① $f ( \beta ) = \beta ^{2} + a \beta + b = 1$ …… ② ①－ ②에서 $\alpha ^{2} - \beta ^{2} + a \alpha - a \beta = 0$ ⇒ $( \alpha + \beta ) ( \alpha - \beta ) + a ( \alpha - \beta ) = 0$ ⇒ $( \alpha - \beta ) ( \alpha + \beta + a ) = 0$ ⇒ $\alpha \ne \beta$이므로 $\alpha + \beta + a = 0$ ∴ $a = - ( \alpha + \beta ) = - ( - 1 ) = 1$ $a = 1$을 ①에 대입하면 $\alpha ^{2} + \alpha + b = 1$ $b = 1 - ( \alpha ^{2} + \alpha ) = 1 - 3 = - 2$ ∴ $f ( x ) = x ^{2} + x - 2$ [별해] $f ( \alpha ) - 1 = f ( \beta ) - 1 = 0$이므로 이차방정식 $f ( x ) - 1 = 0$의 두 근은 $\alpha , \beta$이다. $f ( x )$의 이차항의 계수는 $1$이므로 $f ( x ) - 1 = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) = x ^{2} + x - 3$ ∴ $f ( x ) = x ^{2} + x - 2$