두 근의 차와 근의 곱

[출제의도] 이차함수와 직선의 위치 관계를 이용하여 이차방정식 문제 해결하기 $b = 2$이고 꼭짓점이 $( 0 , - 2 )$이므로 $f ( x ) = kx ^{2} - 2$라 하자. $f ( a ) = 2$이므로 $\displaystyle k = \frac{4}{a ^{2}}$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{4}{a ^{2}} x ^{2} - 2$ 이다. 또한, $g ( a ) = 2$이므로 $\displaystyle g ( x ) = \frac{2}{a} x$ 이다. 또한 $f ( x ) = g ( x )$에서 $\displaystyle \frac{4}{a ^{2}} x ^{2} - 2 = \frac{2}{a} x$ 이고 양변에 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{2}$을 곱하여 정리하면 $2 x ^{2} - ax - a ^{2} = 0$ $( 2 x + a ) ( x - a ) = 0$ 이다. 따라서 방정식 $f ( x ) = g ( x )$의 두 근은 $a$, $\displaystyle - \frac{a}{2}$ 이고 두 근의 차는 $\displaystyle \frac{3}{2} a = 6$이므로 $a = 4$이다. 그러므로 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{4} x ^{2} - 2$이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 방정식 $f ( x ) = 0$의 두 근의 곱은 $- 8$이다.