두 근의 부호

[출제의도] 이차방정식 이해하기 $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} - 2 kx - k + 20 = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = k ^{2} - \left( - k + 20 \right) = k ^{2} + k - 20 = \left( k + 5 \right) \left( k - 4 \right) > 0$ 에서 $k < \mathit{-} 5$ 또는 $k > 4$이고 $k$는 자연수이므로 $k > 4$ …… ㉠ 두 근의 곱 $\alpha \beta = \mathit{-} k + 20$이 양수이므로 $k < 20$ …… ㉡ ㉠과 ㉡에 의해 $k$의 범위는 $4 < k < 20$이고 이를 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $5$, $6$, $\cdots$ , $19$이다. 따라서 모든 자연수 $k$의 개수는 $15$이다.