공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 근의 범위 조건으로 계수 구하기

문제

xx에 대한 이차방정식 ax2−bx+3c=0ax ^{2} - bx + 3 c = 0이 다음 두 조건을 만족시킬 때, a+2b+3ca + 2 b + 3 c의 값은? (가) a,b,ca , b , c는 한 자리의 자연수이다. (나) 두 근 α,β\alpha , \beta에 대하여 1<α<2,5<β<61 < \alpha < 2 , 5 < \beta < 6이다.

①1616②2424③3232④4040⑤4848

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② 2424

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해설

조건 (나)에서 6<α+β<86 < \alpha + \beta < 8, 5<αβ<125 < \alpha \beta < 12 근과 계수와의 관계에서 α+β=ba\displaystyle \alpha + \beta = \frac{b}{a}이므로 6<ba<8\displaystyle 6 < \frac{b}{a} < 8 즉, 6a<b<8a6 a < b < 8 a 이때, 조건 (가)에서 aa, bb는 한 자리 자연수이므로 a=1a = 1이고 b=7b = 7이어야 한다. (∵ a≥2a \geq 2이면 12≤6a<b12 \leq 6 a < b) 또한 근과 계수와의 관계에서 αβ=3ca\displaystyle \alpha \beta = \frac{3 c}{a}이므로 5<3c<125 < 3 c < 12에서 53<c<4\displaystyle \frac{5}{3} < c < 4 조건 (가)에서 c=2c = 2 또는 c=3c = 3이어야 한다. 그런데 c=2c = 2이면 ax2−bx+3cax ^{2} - bx + 3 c=x2−7x+6=(x−1)(x−6)= x ^{2} - 7 x + 6 = ( x - 1 ) ( x - 6 )이므로 조건 (나)에 위배된다. 따라서 c=3c = 3이다. ∴ a+2b+3ca + 2 b + 3 c=1+2⋅7+3⋅3=24= 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 24

태그

#근과 계수의 관계#정수 조건

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