공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 근이 소수

문제

자연수 m,nm , n에 대하여 xx에 대한 이차방정식 mx2−10x+n=0mx ^{2} - 10 x + n = 0의 두 근이 서로 다른 소수일 때, 모든 nn값의 합은? [4점] ①3030②3131③3232④3333⑤3434

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해설

[출제의도] 부정방정식의 해 구하기 소수인 두 근을 p,qp , q라 할 때, p+q=10m\displaystyle p + q = \frac{10}{m}은 자연수이므로 m=1,2,5,10m = 1 , 2 , 5 , 10이다. (ⅰ) m=1m = 1이면, p+q=10p + q = 10이므로, p=3,q=7p = 3 , q = 7이고, pq=n=21pq = n = 21 (ⅱ) m=2m = 2이면, p+q=5p + q = 5이므로, p=2,q=3p = 2 , q = 3이고, pq=n2=6\displaystyle pq = \frac{n}{2} = 6 ∴n=12\therefore n = 12 (ⅲ) m=5,10m = 5 , 10이면, 10m\displaystyle \frac{10}{m}은 두 소수의 합 p+qp + q로 나타낼 수 없다. 따라서 모든 nn의 값의 합은 3333이다.

태그

#부정방정식#근과 계수의 관계

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