공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 근 세제곱 합

문제

이차방정식 $2 x ^{2} - 4 x + k = 0$ 의 서로 다른 두 실근 $\alpha$ , $\beta$ 가 $\alpha ^{3} + \beta ^{3} = 7$ 을 만족시킬 때, 상수 $k$ 에 대하여 $30 k$ 의 값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 다항식의 인수분해 이해하기 $2 x ^{2} - 4 x + k = 0$ 에서 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{- 4}{2} = 2$ , $\displaystyle \alpha \beta = \frac{k}{2}$ $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta = 4 - k$ $\alpha ^{3} + \beta ^{3} = \left( \alpha + \beta \right) \left( \alpha ^{2} - \alpha \beta + \beta ^{2} \right)$ $\displaystyle = 2 \times \left( 4 - k - \frac{k}{2} \right) = 7$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ 따라서 $30 k = 10$

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