두 근 거듭제곱 합

[출제의도] 이차방정식의 실근과 허근을 활용하여 문제 해결하기 이차방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$의 서로 다른 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = - a$ $\cdots \text{㉠}$, $\alpha \beta = b$ $\cdots \text{㉡}$ 이차방정식 $x ^{2} + 3 ax + 3 b = 0$의 서로 다른 두 근이 $\alpha + 2$, $\beta + 2$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\left( \alpha + 2 \right) + \left( \beta + 2 \right) = - 3 a$ $\cdots \text{㉢}$ $\left( \alpha + 2 \right) \left( \beta + 2 \right) = 3 b$ $\cdots \text{㉣}$ $\text{㉠}$, $\text{㉢}$에서 $- a + 4 = - 3 a$, $a = - 2$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 $\text{㉣}$에 대입하면 $b + 2 \times 2 + 4 = 3 b$, $b = 4$ $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 4$ $\alpha ^{2} - 2 \alpha + 4 = 0$에서 $\alpha ^{3} = - 8$ $\beta ^{2} - 2 \beta + 4 = 0$에서 $\beta ^{3} = - 8$이므로 $\alpha + \beta = 2$ $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta = 2 ^{2} - 2 \times 4 = - 4$ $\alpha ^{3} + \beta ^{3} = \left( - 8 \right) + \left( - 8 \right) = - 16$ $\alpha ^{4} + \beta ^{4} = \alpha ^{3} \times \alpha + \beta ^{3} \times \beta = - 8 \left( \alpha + \beta \right) = - 16$ $\alpha ^{5} + \beta ^{5} = \alpha ^{3} \times \alpha ^{2} + \beta ^{3} \times \beta ^{2} = - 8 \left( \alpha ^{2} + \beta ^{2} \right) = 32$ $\alpha ^{6} + \beta ^{6} = \left( \alpha ^{3} \right) ^{2} + \left( \beta ^{3} \right) ^{2} = \left( - 8 \right) ^{2} + \left( - 8 \right) ^{2} = 128$ $\alpha ^{7} + \beta ^{7} = \left( \alpha ^{3} \right) ^{2} \times \alpha + \left( \beta ^{3} \right) ^{2} \times \beta = 64 \left( \alpha + \beta \right)$ $= 128$ 따라서 $\alpha ^{6} + \beta ^{6} = \alpha ^{7} + \beta ^{7} = 128$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은 $6$