두 가지 점화 수열

조건 (나)에서 $a _{n + 1} = a _{n} - 3$ 또는 $a _{n + 1} = 2 a _{n}$ 이므로 조건 (가)를 만족시키는 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $a _{2} = a _{1} - 3$, $a _{3} = a _{2} - 3$일 때 $a _{3} = \left( a _{1} - 3 \right) - 3$$= a _{1} - 6$ 조건 (가)에서 $a _{1} = a _{3}$이므로 위 식에 대입하면 $0 = - 6$ 이는 모순이므로 이 경우 만족하는 수열은 존재하지 않는다. (ⅱ) $a _{2} = a _{1} - 3$, $a _{3} = 2 a _{2}$일 때 $a _{3} = 2 \left( a _{1} - 3 \right)$$= 2 a _{1} - 6$ 조건 (가)에서 $a _{1} = a _{3}$이므로 위 식에 대입하면 $a _{3} = 2 a _{3} - 6$, $a _{3} = 6$ $a _{4} = a _{3} - 3$일 때 $a _{4} = 3$ $a _{4} = 2 a _{3}$일 때 $a _{4} = 12$ (ⅲ) $a _{2} = 2 a _{1}$, $a _{3} = a _{2} - 3$일 때 $a _{3} = a _{2} - 3 = 2 a _{1} - 3$ 조건 (가)에서 $a _{1} = a _{3}$이므로 위 식에 대입하면 $a _{3} = 2 a _{3} - 3$, $a _{3} = 3$ $a _{4} = a _{3} - 3$일 때 $a _{4} = 0$ $a _{4} = 2 a _{3}$일 때 $a _{4} = 6$ (ⅳ) $a _{2} = 2 a _{1}$, $a _{3} = 2 a _{2}$일 때 $a _{3} = 2 a _{2} = 4 a _{1}$ 조건 (가)에서 $a _{1} = a _{3}$이므로 위 식에 대입하면 $a _{3} = 4 a _{3}$, $a _{3} = 0$ $a _{4} = a _{3} - 3$일 때 $a _{4} = - 3$ $a _{4} = 2 a _{3}$일 때 $a _{4} = 0$ 이상에서 $a _{4}$의 최댓값은 $12$이다.