두 등차수열의 곱이 양수인 항의 개수

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차는 $\displaystyle \frac{a _{6} - a _{2}}{4} = \frac{- 15 + 31}{4} = 4$이므로 $a _{n} = - 31 + ( n - 2 ) \cdot 4 = 4 n - 39$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차는 $\displaystyle \frac{b _{7} - b _{3}}{4} = \frac{43 - 55}{4} = - 3$이므로 $b _{n} = 55 + ( n - 3 ) \cdot ( - 3 ) = 64 - 3 n$ $a _{n} > 0$에서 $\displaystyle n > \frac{39}{4} = 9.75$이므로 $n \geq 10$일 때 $a _{n} > 0$, $n \leq 9$일 때 $a _{n} < 0$ $b _{n} > 0$에서 $\displaystyle n < \frac{64}{3} = 21.3 \cdots$이므로 $n \leq 21$일 때 $b _{n} > 0$, $n \geq 22$일 때 $b _{n} < 0$ (ⅰ) $a _{n} > 0$, $b _{n} > 0$인 경우: $10 \leq n \leq 21$이므로 $12$개 (ⅱ) $a _{n} < 0$, $b _{n} < 0$인 경우: $n \leq 9$이고 $n \geq 22$인 자연수는 없다. 따라서 $a _{n} b _{n} > 0$을 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $12$이다. ③