두 다항식 나눗셈

(가)에서 $A \left( x \right) B \left( x \right)$를 $x ^{2} - 2 x + 1$로 나눈 나머지는 $0$이고 (나)에서 $B \left( 1 \right) = 0$이므로 $A \left( x \right)$와 $B \left( x \right)$는 다음의 두 가지 꼴 중 하나이다. (ⅰ) $A \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ $($$a$, $b$, $c$는 상수$)$, $B \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2}$인 경우 $\left( B \left( x \right) \right) ^{2} = \left( x - 1 \right) ^{4} = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16 \left( x - 1 \right)$ $x = 2$를 대입하면 식이 성립하지 않는다. (ⅱ) $A \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + lx + m \right)$, $B \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + n \right)$인 경우 $($$l$, $m$, $n$은 상수, $n \ne - 1$$)$ $\left( B \left( x \right) \right) ^{2}$$= \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + n \right) ^{2}$$= \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16 \left( x - 1 \right)$ $x = 2$를 대입하면 $\left( B \left( x \right) \right) ^{2} = 16$ (다)에서 $B \left( 2 \right) > 0$이므로 $B \left( 2 \right) = 4$, $n = 2$ $\left( B \left( x \right) \right) ^{2}$$= \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + 2 \right) ^{2}$$= \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16 \left( x - 1 \right)$ $\left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right) ^{2} = \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16$에서 $l = 5$, $m = 10$이므로 $Q \left( x \right) = x ^{2} + 5 x + 10$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $A \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 5 x + 10 \right)$이고 $A \left( 3 \right) = 68$ [다른 풀이] (나)에 의하여 $\left( B \left( x \right) \right) ^{2}$$= \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16 \left( x - 1 \right)$ $= \left( x - 1 \right) \left\{ \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16 \right\}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\left( B \left( 1 \right) \right) ^{2} = 0$이므로 $B \left( 1 \right) = 0$ $\left( B \left( x \right) \right) ^{2}$이 $\left( x - 1 \right) ^{2}$을 인수로 갖는다. $\left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 16$은 $x - 1$을 인수로 가지므로 $Q \left( 1 \right) = 16$ ㉠에 $x = 2$를 대입하면 $\left( B \left( x \right) \right) ^{2} = 16$ (다)에 의하여 $B \left( 2 \right) = 4$ $B \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right)$이고 $B \left( 3 \right) = 10$ (가)에서 $A \left( x \right) B \left( x \right)$는 $\left( x - 1 \right) ^{2}$으로 나누어떨어지므로 $A \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. ㉠에서 $\left( B \left( x \right) \right) ^{2}$은 사차다항식이므로 $Q \left( x \right)$는 이차다항식이다. $Q \left( 1 \right) \ne 0$ 이고 $A \left( x \right)$는 $Q \left( x \right)$로 나누어떨어지므로 $A \left( x \right) = \left( x - 1 \right) Q \left( x \right)$ ㉠에 $x = 3$을 대입하면 $\left( B \left( 3 \right) \right) ^{2} = \left( 3 - 1 \right) \left\{ \left( 3 - 2 \right) Q \left( 3 \right) + 16 \right\}$ $100 = 2 Q \left( 3 \right) + 32$이고 $Q \left( 3 \right) = 34$ 따라서 $A \left( 3 \right) = \left( 3 - 1 \right) Q \left( 3 \right) = 68$