두 다항함수 보기

ㄱ. $f' ( 0 ) = g' ( 0 ) = 0$ $x < 0$에서 $f' ( x ) > 0$, $g' ( x ) > 0$ $0 < x < 4$에서 $f' ( x ) < 0$, $g' ( x ) < 0$ 이므로 두 함수 $f ( x )$와 $g ( x )$는 모두 $x = 0$에서 극대이다. (참) ㄴ. $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + C _{1}$, $g ( x ) = - x ^{2} + C _{2}$ (단, $C _{1}$, $C _{2}$는 적분상수) $h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$라 하면 $h' ( x ) = f' ( x ) - g' ( x ) = x ( x - 2 )$ 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 삼차함수 $h ( x )$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서만 만나는 경우이므로 삼차함수 $h ( x )$의 그래프의 개형은 다음 $y = h _{1} ( x )$와 $y = h _{2} ( x )$의 두 가지이다.

$h ( x ) = h _{1} ( x )$일 때, $h _{1} ( 2 ) = 0$이므로 $h _{1} ( 0 ) \times h _{1} ( 2 ) = 0$ $h ( x ) = h _{2} ( x )$일 때, $h _{2} ( 0 ) = 0$이므로 $h _{2} ( 0 ) \times h _{2} ( 2 ) = 0$ $\left\{ f ( 0 ) - g ( 0 ) \right\} \times \left\{ f ( 2 ) - g ( 2 ) \right\} = 0$ (참) ㄷ. $\displaystyle \int _{- 1} ^{0{h _{2} ( t )}} dt < 0$이므로 함수 $h _{2} ( x )$는 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} {\left\{ f ( t ) - g ( t ) \right\}} dt {\geq} 0$을 만족시키는 함수 $h ( x )$가 아니다. $\displaystyle h _{1} ( 2 ) = - \frac{4}{3} + C _{1} - C _{2} = 0$, $\displaystyle C _{1} - C _{2} = \frac{4}{3}$ $\displaystyle h _{1} ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} ( x + 1 ) ( x - 2 ) ^{2}$

$x < - 1$일 때, $h _{1} ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} {h _{1} ( t )} dt > 0$ $x {\geq} - 1$일 때, $h _{1} ( x ) {\geq} 0$이므로 $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} {h _{1} ( t )} dt {\geq} 0$ 그러므로 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} {\left\{ f ( t ) - g ( t ) \right\}} dt {\geq} 0$을 만족시키는 함수 $h ( x )$는 함수 $h _{1} ( x )$이다. $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\left\{ f ( x ) - g ( x ) \right.} = \int _{- 1} ^{1} {\left( \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} + \frac{4}{3} \right)} dx$$= 2$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ