두 대각선의 중점을 이은 선분

실마리: 대각선 $\mathrm{AC}$의 중점 $\mathrm{M}$을 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{ADC}$의 중선의 발로 보고, 남는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + \overline{\mathrm{DM}} ^{2}$은 삼각형 $\mathrm{MBD}$에서 다시 중선정리로 처리한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{CM}} = \frac{5}{2}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{DC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{DM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2}$ 두 식을 더하면 $\displaystyle 9 + 16 + 25 + 36 = 2 \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{DM}} ^{2} + 4 \times \frac{25}{4}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + \overline{\mathrm{DM}} ^{2} = \frac{86 - 25}{2} = \frac{61}{2}$ 삼각형 $\mathrm{MBD}$에서 점 $\mathrm{N}$은 변 $\mathrm{BD}$의 중점이므로 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} ^{2} + \overline{\mathrm{DM}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{MN}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{BN}} ^{2}$ $\displaystyle \frac{61}{2} = 2 \times \frac{9}{4} + 2 \overline{\mathrm{BN}} ^{2}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BN}} ^{2} = \frac{61 - 9}{4} = 13$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} ^{2} = 4 \overline{\mathrm{BN}} ^{2} = 52$ (검산: $\mathrm{A} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{C} ( 5 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{9}{5} , \frac{12}{5} \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{7}{5} , - \frac{24}{5} \right)$로 두면 네 변과 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}$이 모두 조건과 맞고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} ^{2} = \left( \frac{2}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{36}{5} \right) ^{2} = 52$) 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} ^{2} = 52$